Lutasin ang {l}{5x+(3y-2)=0}{x+y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + ( 3 y - 2 ) = 0 } \\ { x + y = 10 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-14$$

$$y=24$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x+3y-2=0$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x+3y=2$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-3y+2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+2\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -3y+2.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

I-substitute ang \frac{-3y+2}{5} para sa x sa kabilang equation na x+y=10.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}+y=10$$

Idagdag ang -\frac{3y}{5} sa y.

$$\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}=10$$

I-subtract ang \frac{2}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{2}{5}y=\frac{48}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{2}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=24$$

I-substitute ang 24 para sa y sa x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{5}\times 24+\frac{2}{5}$$

I-multiply ang -\frac{3}{5} times 24.

$$x=\frac{-72+2}{5}$$

Idagdag ang \frac{2}{5} sa -\frac{72}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-14$$

Nalutas na ang system.

$$x=-14,y=24$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3}&-\frac{3}{5-3}\\-\frac{1}{5-3}&\frac{5}{5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-\frac{3}{2}\times 10\\-\frac{1}{2}\times 2+\frac{5}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\24\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-14,y=24$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$5x+3y-2=0,5x+5y=5\times 10$$

Pasimplehin.

$$5x+3y-2=0,5x+5y=50$$

I-subtract ang 5x+5y=50 mula sa 5x+3y-2=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$5x-5x+3y-5y-2=-50$$

Idagdag ang 5x sa -5x. Naka-cancel out ang term na 5x at -5x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3y-5y-2=-50$$

Idagdag ang 3y sa -5y.

$$-2y-2=-50$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2y=-48$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$y=24$$

I-substitute ang 24 para sa y sa x+y=10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+24=10$$

I-subtract ang 24 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-14$$

Nalutas na ang system.

$$x=-14,y=24$$