Lutasin ang {l}{4x-4y=4}{-4x-y=-11}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 4 y = 4 } \\ { - 4 x - y = - 11 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

$$y = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x-4y=4,-4x-y=-11$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x-4y=4$$

Idagdag ang 4y sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=4y+4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(4y+4\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times 4+4y.

$$x=y+1$$

I-substitute ang y+1 para sa x sa kabilang equation na -4x-y=-11.

$$-4\left(y+1\right)-y=-11$$

I-multiply ang -4 times y+1.

$$-4y-4-y=-11$$

Idagdag ang -4y sa -y.

$$-5y-4=-11$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-5y=-7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$y=\frac{7}{5}$$

I-substitute ang \frac{7}{5} para sa y sa x=y+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{7}{5}+1$$

Idagdag ang 1 sa \frac{7}{5}.

$$x=\frac{12}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{7}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x-4y=4,-4x-y=-11$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-4\left(-4\right)\right)}&-\frac{-4}{4\left(-1\right)-\left(-4\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\left(-1\right)-\left(-4\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-4\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 4-\frac{1}{5}\left(-11\right)\\-\frac{1}{5}\times 4-\frac{1}{5}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{7}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x-4y=4,-4x-y=-11$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at -4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$-4\times 4x-4\left(-4\right)y=-4\times 4,4\left(-4\right)x+4\left(-1\right)y=4\left(-11\right)$$

Pasimplehin.

$$-16x+16y=-16,-16x-4y=-44$$

I-subtract ang -16x-4y=-44 mula sa -16x+16y=-16 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-16x+16x+16y+4y=-16+44$$

Idagdag ang -16x sa 16x. Naka-cancel out ang term na -16x at 16x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$16y+4y=-16+44$$

Idagdag ang 16y sa 4y.

$$20y=-16+44$$

Idagdag ang -16 sa 44.

$$20y=28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 20.

$$y=\frac{7}{5}$$

I-substitute ang \frac{7}{5} para sa y sa -4x-y=-11. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-4x-\frac{7}{5}=-11$$

Idagdag ang \frac{7}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4x=-\frac{48}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=\frac{12}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{7}{5}$$