Lutasin ang {l}{4x=9-3y}{5y=12-5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 9 - 3 y } \\ { 5 y = 12 - 5 x } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 3y sa parehong bahagi.

$$4x+3y=9$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 5x sa parehong bahagi.

$$5y+5x=12$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+3y=9$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-3y+9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+9\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -3y+9.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}$$

I-substitute ang \frac{-3y+9}{4} para sa x sa kabilang equation na 5x+5y=12.

$$5\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)+5y=12$$

I-multiply ang 5 times \frac{-3y+9}{4}.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{45}{4}+5y=12$$

Idagdag ang -\frac{15y}{4} sa 5y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{45}{4}=12$$

I-subtract ang \frac{45}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{5}{4}y=\frac{3}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{5}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{3}{5}$$

I-substitute ang \frac{3}{5} para sa y sa x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{3}{5}+\frac{9}{4}$$

I-multiply ang -\frac{3}{4} times \frac{3}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{9}{20}+\frac{9}{4}$$

Idagdag ang \frac{9}{4} sa -\frac{9}{20} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{9}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 3y sa parehong bahagi.

$$4x+3y=9$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 5x sa parehong bahagi.

$$5y+5x=12$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 5}\\-\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&\frac{4}{4\times 5-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{5}\\-1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9-\frac{3}{5}\times 12\\-9+\frac{4}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 3y sa parehong bahagi.

$$4x+3y=9$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 5x sa parehong bahagi.

$$5y+5x=12$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$5\times 4x+5\times 3y=5\times 9,4\times 5x+4\times 5y=4\times 12$$

Pasimplehin.

$$20x+15y=45,20x+20y=48$$

I-subtract ang 20x+20y=48 mula sa 20x+15y=45 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$20x-20x+15y-20y=45-48$$

Idagdag ang 20x sa -20x. Naka-cancel out ang term na 20x at -20x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$15y-20y=45-48$$

Idagdag ang 15y sa -20y.

$$-5y=45-48$$

Idagdag ang 45 sa -48.

$$-5y=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$y=\frac{3}{5}$$

I-substitute ang \frac{3}{5} para sa y sa 5x+5y=12. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x+5\times \frac{3}{5}=12$$

I-multiply ang 5 times \frac{3}{5}.

$$5x+3=12$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{9}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$