Lutasin ang {l}{4x+5y=-12}{5x-17=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = - 12 } \\ { 5 x - 17 = - 7 y } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{169}{3} = -56\frac{1}{3} \approx -56.333333333$$

$$y = \frac{128}{3} = 42\frac{2}{3} \approx 42.666666667$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 7y sa parehong bahagi.

$$5x-17+7y=0$$

Idagdag ang 17 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$5x+7y=17$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+5y=-12$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-5y-12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y-12\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -5y-12.

$$x=-\frac{5}{4}y-3$$

I-substitute ang -\frac{5y}{4}-3 para sa x sa kabilang equation na 5x+7y=17.

$$5\left(-\frac{5}{4}y-3\right)+7y=17$$

I-multiply ang 5 times -\frac{5y}{4}-3.

$$-\frac{25}{4}y-15+7y=17$$

Idagdag ang -\frac{25y}{4} sa 7y.

$$\frac{3}{4}y-15=17$$

Idagdag ang 15 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{3}{4}y=32$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{3}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{128}{3}$$

I-substitute ang \frac{128}{3} para sa y sa x=-\frac{5}{4}y-3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{128}{3}-3$$

I-multiply ang -\frac{5}{4} times \frac{128}{3} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{160}{3}-3$$

Idagdag ang -3 sa -\frac{160}{3}.

$$x=-\frac{169}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 7y sa parehong bahagi.

$$5x-17+7y=0$$

Idagdag ang 17 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$5x+7y=17$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5\times 5}&-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}\\-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}&\frac{4}{4\times 7-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{5}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\left(-12\right)-\frac{5}{3}\times 17\\-\frac{5}{3}\left(-12\right)+\frac{4}{3}\times 17\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{169}{3}\\\frac{128}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 7y sa parehong bahagi.

$$5x-17+7y=0$$

Idagdag ang 17 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$5x+7y=17$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$5\times 4x+5\times 5y=5\left(-12\right),4\times 5x+4\times 7y=4\times 17$$

Pasimplehin.

$$20x+25y=-60,20x+28y=68$$

I-subtract ang 20x+28y=68 mula sa 20x+25y=-60 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$20x-20x+25y-28y=-60-68$$

Idagdag ang 20x sa -20x. Naka-cancel out ang term na 20x at -20x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$25y-28y=-60-68$$

Idagdag ang 25y sa -28y.

$$-3y=-60-68$$

Idagdag ang -60 sa -68.

$$-3y=-128$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=\frac{128}{3}$$

I-substitute ang \frac{128}{3} para sa y sa 5x+7y=17. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x+7\times \frac{128}{3}=17$$

I-multiply ang 7 times \frac{128}{3}.

$$5x+\frac{896}{3}=17$$

I-subtract ang \frac{896}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-\frac{845}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=-\frac{169}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$