Lutasin ang {l}{4x+2y=6}{5x-3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 6 } \\ { 5 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{18}{11} = 1\frac{7}{11} \approx 1.636363636$$

$$y=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+2y=6,5x-3y=9$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+2y=6$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-2y+6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+6\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -2y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

I-substitute ang \frac{-y+3}{2} para sa x sa kabilang equation na 5x-3y=9.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)-3y=9$$

I-multiply ang 5 times \frac{-y+3}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}-3y=9$$

Idagdag ang -\frac{5y}{2} sa -3y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{15}{2}=9$$

I-subtract ang \frac{15}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{11}{2}y=\frac{3}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{11}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{3}{11}$$

I-substitute ang -\frac{3}{11} para sa y sa x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{11}\right)+\frac{3}{2}$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times -\frac{3}{11} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{3}{22}+\frac{3}{2}$$

Idagdag ang \frac{3}{2} sa \frac{3}{22} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{18}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{18}{11},y=-\frac{3}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+2y=6,5x-3y=9$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-2\times 5}&-\frac{2}{4\left(-3\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-3\right)-2\times 5}&\frac{4}{4\left(-3\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 6+\frac{1}{11}\times 9\\\frac{5}{22}\times 6-\frac{2}{11}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{11}\\-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{18}{11},y=-\frac{3}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+2y=6,5x-3y=9$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$5\times 4x+5\times 2y=5\times 6,4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 9$$

Pasimplehin.

$$20x+10y=30,20x-12y=36$$

I-subtract ang 20x-12y=36 mula sa 20x+10y=30 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$20x-20x+10y+12y=30-36$$

Idagdag ang 20x sa -20x. Naka-cancel out ang term na 20x at -20x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$10y+12y=30-36$$

Idagdag ang 10y sa 12y.

$$22y=30-36$$

Idagdag ang 30 sa -36.

$$22y=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 22.

$$y=-\frac{3}{11}$$

I-substitute ang -\frac{3}{11} para sa y sa 5x-3y=9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x-3\left(-\frac{3}{11}\right)=9$$

I-multiply ang -3 times -\frac{3}{11}.

$$5x+\frac{9}{11}=9$$

I-subtract ang \frac{9}{11} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=\frac{90}{11}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{18}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{18}{11},y=-\frac{3}{11}$$