Lutasin ang {l}{4x+2y=-18}{-2x-5y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = - 18 } \\ { - 2 x - 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{35}{8} = -4\frac{3}{8} = -4.375$$

$$y=-\frac{1}{4}=-0.25$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+2y=-18,-2x-5y=10$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+2y=-18$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-2y-18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y-18\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -2y-18.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}$$

I-substitute ang \frac{-y-9}{2} para sa x sa kabilang equation na -2x-5y=10.

$$-2\left(-\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}\right)-5y=10$$

I-multiply ang -2 times \frac{-y-9}{2}.

$$y+9-5y=10$$

Idagdag ang y sa -5y.

$$-4y+9=10$$

I-subtract ang 9 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4y=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$y=-\frac{1}{4}$$

I-substitute ang -\frac{1}{4} para sa y sa x=-\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4}\right)-\frac{9}{2}$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times -\frac{1}{4} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{1}{8}-\frac{9}{2}$$

Idagdag ang -\frac{9}{2} sa \frac{1}{8} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{35}{8}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{35}{8},y=-\frac{1}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+2y=-18,-2x-5y=10$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}&\frac{4}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\left(-18\right)+\frac{1}{8}\times 10\\-\frac{1}{8}\left(-18\right)-\frac{1}{4}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{35}{8}\\-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{35}{8},y=-\frac{1}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+2y=-18,-2x-5y=10$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at -2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$-2\times 4x-2\times 2y=-2\left(-18\right),4\left(-2\right)x+4\left(-5\right)y=4\times 10$$

Pasimplehin.

$$-8x-4y=36,-8x-20y=40$$

I-subtract ang -8x-20y=40 mula sa -8x-4y=36 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-8x+8x-4y+20y=36-40$$

Idagdag ang -8x sa 8x. Naka-cancel out ang term na -8x at 8x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-4y+20y=36-40$$

Idagdag ang -4y sa 20y.

$$16y=36-40$$

Idagdag ang 36 sa -40.

$$16y=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 16.

$$y=-\frac{1}{4}$$

I-substitute ang -\frac{1}{4} para sa y sa -2x-5y=10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-2x-5\left(-\frac{1}{4}\right)=10$$

I-multiply ang -5 times -\frac{1}{4}.

$$-2x+\frac{5}{4}=10$$

I-subtract ang \frac{5}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=\frac{35}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=-\frac{35}{8}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{35}{8},y=-\frac{1}{4}$$