Lutasin ang {l}{3x+8y=15}{2x-8y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 8 y = 15 } \\ { 2 x - 8 y = 10 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=5$$

$$y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+8y=15,2x-8y=10$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+8y=15$$

I-subtract ang 8y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-8y+15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-8y+15\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -8y+15.

$$x=-\frac{8}{3}y+5$$

I-substitute ang -\frac{8y}{3}+5 para sa x sa kabilang equation na 2x-8y=10.

$$2\left(-\frac{8}{3}y+5\right)-8y=10$$

I-multiply ang 2 times -\frac{8y}{3}+5.

$$-\frac{16}{3}y+10-8y=10$$

Idagdag ang -\frac{16y}{3} sa -8y.

$$-\frac{40}{3}y+10=10$$

I-subtract ang 10 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{40}{3}y=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{40}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=0$$

I-substitute ang 0 para sa y sa x=-\frac{8}{3}y+5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+8y=15,2x-8y=10$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&8\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&8\\2&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&8\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-8\times 2}&-\frac{8}{3\left(-8\right)-8\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-8\right)-8\times 2}&\frac{3}{3\left(-8\right)-8\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{20}&-\frac{3}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 15+\frac{1}{5}\times 10\\\frac{1}{20}\times 15-\frac{3}{40}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=5,y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+8y=15,2x-8y=10$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$2\times 3x+2\times 8y=2\times 15,3\times 2x+3\left(-8\right)y=3\times 10$$

Pasimplehin.

$$6x+16y=30,6x-24y=30$$

I-subtract ang 6x-24y=30 mula sa 6x+16y=30 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x+16y+24y=30-30$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$16y+24y=30-30$$

Idagdag ang 16y sa 24y.

$$40y=30-30$$

Idagdag ang 30 sa -30.

$$40y=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 40.

$$y=0$$

I-substitute ang 0 para sa y sa 2x-8y=10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x=10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=0$$