Lutasin ang {l}{3x+5y=21}{5x+2y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 21 } \\ { 5 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{22}{19} = -1\frac{3}{19} \approx -1.157894737$$

$$y = \frac{93}{19} = 4\frac{17}{19} \approx 4.894736842$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+5y=21$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-5y+21$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+21\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -5y+21.

$$x=-\frac{5}{3}y+7$$

I-substitute ang -\frac{5y}{3}+7 para sa x sa kabilang equation na 5x+2y=4.

$$5\left(-\frac{5}{3}y+7\right)+2y=4$$

I-multiply ang 5 times -\frac{5y}{3}+7.

$$-\frac{25}{3}y+35+2y=4$$

Idagdag ang -\frac{25y}{3} sa 2y.

$$-\frac{19}{3}y+35=4$$

I-subtract ang 35 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{19}{3}y=-31$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{19}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{93}{19}$$

I-substitute ang \frac{93}{19} para sa y sa x=-\frac{5}{3}y+7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{93}{19}+7$$

I-multiply ang -\frac{5}{3} times \frac{93}{19} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{155}{19}+7$$

Idagdag ang 7 sa -\frac{155}{19}.

$$x=-\frac{22}{19}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}&\frac{3}{3\times 2-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{5}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 21+\frac{5}{19}\times 4\\\frac{5}{19}\times 21-\frac{3}{19}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{19}\\\frac{93}{19}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$5\times 3x+5\times 5y=5\times 21,3\times 5x+3\times 2y=3\times 4$$

Pasimplehin.

$$15x+25y=105,15x+6y=12$$

I-subtract ang 15x+6y=12 mula sa 15x+25y=105 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$15x-15x+25y-6y=105-12$$

Idagdag ang 15x sa -15x. Naka-cancel out ang term na 15x at -15x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$25y-6y=105-12$$

Idagdag ang 25y sa -6y.

$$19y=105-12$$

Idagdag ang 105 sa -12.

$$19y=93$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 19.

$$y=\frac{93}{19}$$

I-substitute ang \frac{93}{19} para sa y sa 5x+2y=4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x+2\times \frac{93}{19}=4$$

I-multiply ang 2 times \frac{93}{19}.

$$5x+\frac{186}{19}=4$$

I-subtract ang \frac{186}{19} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-\frac{110}{19}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=-\frac{22}{19}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$