Lutasin ang {l}{3x+5y=-24}{-5x+2y=-22x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 24 } \\ { - 5 x + 2 y = - 22 x } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{48}{79}\approx 0.607594937$$

$$y = -\frac{408}{79} = -5\frac{13}{79} \approx -5.164556962$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 22x sa parehong bahagi.

$$-5x+2y+22x=0$$

Pagsamahin ang -5x at 22x para makuha ang 17x.

$$17x+2y=0$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+5y=-24$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-5y-24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-24\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -5y-24.

$$x=-\frac{5}{3}y-8$$

I-substitute ang -\frac{5y}{3}-8 para sa x sa kabilang equation na 17x+2y=0.

$$17\left(-\frac{5}{3}y-8\right)+2y=0$$

I-multiply ang 17 times -\frac{5y}{3}-8.

$$-\frac{85}{3}y-136+2y=0$$

Idagdag ang -\frac{85y}{3} sa 2y.

$$-\frac{79}{3}y-136=0$$

Idagdag ang 136 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{79}{3}y=136$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{79}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{408}{79}$$

I-substitute ang -\frac{408}{79} para sa y sa x=-\frac{5}{3}y-8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-\frac{408}{79}\right)-8$$

I-multiply ang -\frac{5}{3} times -\frac{408}{79} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{680}{79}-8$$

Idagdag ang -8 sa \frac{680}{79}.

$$x=\frac{48}{79}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 22x sa parehong bahagi.

$$-5x+2y+22x=0$$

Pagsamahin ang -5x at 22x para makuha ang 17x.

$$17x+2y=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 17}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 17}\\-\frac{17}{3\times 2-5\times 17}&\frac{3}{3\times 2-5\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}&\frac{5}{79}\\\frac{17}{79}&-\frac{3}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}\left(-24\right)\\\frac{17}{79}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{79}\\-\frac{408}{79}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 22x sa parehong bahagi.

$$-5x+2y+22x=0$$

Pagsamahin ang -5x at 22x para makuha ang 17x.

$$17x+2y=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 17x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 17 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$17\times 3x+17\times 5y=17\left(-24\right),3\times 17x+3\times 2y=0$$

Pasimplehin.

$$51x+85y=-408,51x+6y=0$$

I-subtract ang 51x+6y=0 mula sa 51x+85y=-408 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$51x-51x+85y-6y=-408$$

Idagdag ang 51x sa -51x. Naka-cancel out ang term na 51x at -51x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$85y-6y=-408$$

Idagdag ang 85y sa -6y.

$$79y=-408$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 79.

$$y=-\frac{408}{79}$$

I-substitute ang -\frac{408}{79} para sa y sa 17x+2y=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$17x+2\left(-\frac{408}{79}\right)=0$$

I-multiply ang 2 times -\frac{408}{79}.

$$17x-\frac{816}{79}=0$$

Idagdag ang \frac{816}{79} sa magkabilang dulo ng equation.

$$17x=\frac{816}{79}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 17.

$$x=\frac{48}{79}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$