Lutasin ang {l}{3x+4y=253}{y=5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 253 } \\ { y = 5 x } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=11$$

$$y=55$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 5x mula sa magkabilang dulo.

$$y-5x=0$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+4y=253$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-4y+253$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+253\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -4y+253.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}$$

I-substitute ang \frac{-4y+253}{3} para sa x sa kabilang equation na -5x+y=0.

$$-5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}\right)+y=0$$

I-multiply ang -5 times \frac{-4y+253}{3}.

$$\frac{20}{3}y-\frac{1265}{3}+y=0$$

Idagdag ang \frac{20y}{3} sa y.

$$\frac{23}{3}y-\frac{1265}{3}=0$$

Idagdag ang \frac{1265}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{23}{3}y=\frac{1265}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{23}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=55$$

I-substitute ang 55 para sa y sa x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{4}{3}\times 55+\frac{253}{3}$$

I-multiply ang -\frac{4}{3} times 55.

$$x=\frac{-220+253}{3}$$

Idagdag ang \frac{253}{3} sa -\frac{220}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=11$$

Nalutas na ang system.

$$x=11,y=55$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 5x mula sa magkabilang dulo.

$$y-5x=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3-4\left(-5\right)}&\frac{3}{3-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&-\frac{4}{23}\\\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\times 253\\\frac{5}{23}\times 253\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\55\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=11,y=55$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 5x mula sa magkabilang dulo.

$$y-5x=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at -5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$-5\times 3x-5\times 4y=-5\times 253,3\left(-5\right)x+3y=0$$

Pasimplehin.

$$-15x-20y=-1265,-15x+3y=0$$

I-subtract ang -15x+3y=0 mula sa -15x-20y=-1265 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-15x+15x-20y-3y=-1265$$

Idagdag ang -15x sa 15x. Naka-cancel out ang term na -15x at 15x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-20y-3y=-1265$$

Idagdag ang -20y sa -3y.

$$-23y=-1265$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -23.

$$y=55$$

I-substitute ang 55 para sa y sa -5x+y=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-5x+55=0$$

I-subtract ang 55 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-5x=-55$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$x=11$$

Nalutas na ang system.

$$x=11,y=55$$