Lutasin ang {l}{3x+4y+200=5}{2x+y+100=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y + 200 = 5 } \\ { 2 x + y + 100 = 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-37$$

$$y=-21$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+4y+200=5,2x+y+100=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+4y+200=5$$

I-subtract ang 200 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x+4y=-195$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-4y-195$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-195\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -4y-195.

$$x=-\frac{4}{3}y-65$$

I-substitute ang -\frac{4y}{3}-65 para sa x sa kabilang equation na 2x+y+100=5.

$$2\left(-\frac{4}{3}y-65\right)+y+100=5$$

I-multiply ang 2 times -\frac{4y}{3}-65.

$$-\frac{8}{3}y-130+y+100=5$$

Idagdag ang -\frac{8y}{3} sa y.

$$-\frac{5}{3}y-130+100=5$$

Idagdag ang -130 sa 100.

$$-\frac{5}{3}y-30=5$$

Idagdag ang 30 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{5}{3}y=35$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{5}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-21$$

I-substitute ang -21 para sa y sa x=-\frac{4}{3}y-65. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-21\right)-65$$

I-multiply ang -\frac{4}{3} times -21.

$$x=28-65$$

Idagdag ang -65 sa 28.

$$x=-37$$

Nalutas na ang system.

$$x=-37,y=-21$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+4y+200=5,2x+y+100=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-195\\-95\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-195\\-95\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-195\\-95\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-195\\-95\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\times 2}&-\frac{4}{3-4\times 2}\\-\frac{2}{3-4\times 2}&\frac{3}{3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-195\\-95\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-195\\-95\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-195\right)+\frac{4}{5}\left(-95\right)\\\frac{2}{5}\left(-195\right)-\frac{3}{5}\left(-95\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-37\\-21\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-37,y=-21$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+4y+200=5,2x+y+100=5$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$2\times 3x+2\times 4y+2\times 200=2\times 5,3\times 2x+3y+3\times 100=3\times 5$$

Pasimplehin.

$$6x+8y+400=10,6x+3y+300=15$$

I-subtract ang 6x+3y+300=15 mula sa 6x+8y+400=10 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x+8y-3y+400-300=10-15$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$8y-3y+400-300=10-15$$

Idagdag ang 8y sa -3y.

$$5y+400-300=10-15$$

Idagdag ang 400 sa -300.

$$5y+100=10-15$$

Idagdag ang 10 sa -15.

$$5y+100=-5$$

I-subtract ang 100 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5y=-105$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=-21$$

I-substitute ang -21 para sa y sa 2x+y+100=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x-21+100=5$$

Idagdag ang -21 sa 100.

$$2x+79=5$$

I-subtract ang 79 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-74$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=-37$$

Nalutas na ang system.

$$x=-37,y=-21$$