Lutasin ang {l}{3x+2y=11}{4x+9y=117}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 11 } \\ { 4 x + 9 y = 117 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{135}{19} = -7\frac{2}{19} \approx -7.105263158$$

$$y = \frac{307}{19} = 16\frac{3}{19} \approx 16.157894737$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+2y=11,4x+9y=117$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+2y=11$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-2y+11$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+11\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -2y+11.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{11}{3}$$

I-substitute ang \frac{-2y+11}{3} para sa x sa kabilang equation na 4x+9y=117.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+\frac{11}{3}\right)+9y=117$$

I-multiply ang 4 times \frac{-2y+11}{3}.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{44}{3}+9y=117$$

Idagdag ang -\frac{8y}{3} sa 9y.

$$\frac{19}{3}y+\frac{44}{3}=117$$

I-subtract ang \frac{44}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{19}{3}y=\frac{307}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{19}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{307}{19}$$

I-substitute ang \frac{307}{19} para sa y sa x=-\frac{2}{3}y+\frac{11}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{307}{19}+\frac{11}{3}$$

I-multiply ang -\frac{2}{3} times \frac{307}{19} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{614}{57}+\frac{11}{3}$$

Idagdag ang \frac{11}{3} sa -\frac{614}{57} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{135}{19}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{135}{19},y=\frac{307}{19}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+2y=11,4x+9y=117$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-2\times 4}&-\frac{2}{3\times 9-2\times 4}\\-\frac{4}{3\times 9-2\times 4}&\frac{3}{3\times 9-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{19}&-\frac{2}{19}\\-\frac{4}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\117\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{19}\times 11-\frac{2}{19}\times 117\\-\frac{4}{19}\times 11+\frac{3}{19}\times 117\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{135}{19}\\\frac{307}{19}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{135}{19},y=\frac{307}{19}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+2y=11,4x+9y=117$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 11,3\times 4x+3\times 9y=3\times 117$$

Pasimplehin.

$$12x+8y=44,12x+27y=351$$

I-subtract ang 12x+27y=351 mula sa 12x+8y=44 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$12x-12x+8y-27y=44-351$$

Idagdag ang 12x sa -12x. Naka-cancel out ang term na 12x at -12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$8y-27y=44-351$$

Idagdag ang 8y sa -27y.

$$-19y=44-351$$

Idagdag ang 44 sa -351.

$$-19y=-307$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -19.

$$y=\frac{307}{19}$$

I-substitute ang \frac{307}{19} para sa y sa 4x+9y=117. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x+9\times \frac{307}{19}=117$$

I-multiply ang 9 times \frac{307}{19}.

$$4x+\frac{2763}{19}=117$$

I-subtract ang \frac{2763}{19} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-\frac{540}{19}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=-\frac{135}{19}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{135}{19},y=\frac{307}{19}$$