Lutasin ang {l}{3(2x-5)+2y=-41}{x-3y/9-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 ( 2 x - 5 ) + 2 y = - 41 } \\ { \frac { x - 3 y } { 9 } - y = 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-3$$

$$y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 2x-5.

$$6x-15+2y=-41$$

Idagdag ang 15 sa parehong bahagi.

$$6x+2y=-41+15$$

Idagdag ang -41 at 15 para makuha ang -26.

$$6x+2y=-26$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$x-3y-9y=45$$

Pagsamahin ang -3y at -9y para makuha ang -12y.

$$x-12y=45$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$6x+2y=-26$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=-2y-26$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y-26\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times -2y-26.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}$$

I-substitute ang \frac{-y-13}{3} para sa x sa kabilang equation na x-12y=45.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}-12y=45$$

Idagdag ang -\frac{y}{3} sa -12y.

$$-\frac{37}{3}y-\frac{13}{3}=45$$

Idagdag ang \frac{13}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{37}{3}y=\frac{148}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{37}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-4$$

I-substitute ang -4 para sa y sa x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{13}{3}$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times -4.

$$x=\frac{4-13}{3}$$

Idagdag ang -\frac{13}{3} sa \frac{4}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-3$$

Nalutas na ang system.

$$x=-3,y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 2x-5.

$$6x-15+2y=-41$$

Idagdag ang 15 sa parehong bahagi.

$$6x+2y=-41+15$$

Idagdag ang -41 at 15 para makuha ang -26.

$$6x+2y=-26$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$x-3y-9y=45$$

Pagsamahin ang -3y at -9y para makuha ang -12y.

$$x-12y=45$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{6\left(-12\right)-2}&-\frac{2}{6\left(-12\right)-2}\\-\frac{1}{6\left(-12\right)-2}&\frac{6}{6\left(-12\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{37}&\frac{1}{37}\\\frac{1}{74}&-\frac{3}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{37}\left(-26\right)+\frac{1}{37}\times 45\\\frac{1}{74}\left(-26\right)-\frac{3}{37}\times 45\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-3,y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 2x-5.

$$6x-15+2y=-41$$

Idagdag ang 15 sa parehong bahagi.

$$6x+2y=-41+15$$

Idagdag ang -41 at 15 para makuha ang -26.

$$6x+2y=-26$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$x-3y-9y=45$$

Pagsamahin ang -3y at -9y para makuha ang -12y.

$$x-12y=45$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

Para gawing magkatumbas ang 6x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 6.

$$6x+2y=-26,6x+6\left(-12\right)y=6\times 45$$

Pasimplehin.

$$6x+2y=-26,6x-72y=270$$

I-subtract ang 6x-72y=270 mula sa 6x+2y=-26 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x+2y+72y=-26-270$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2y+72y=-26-270$$

Idagdag ang 2y sa 72y.

$$74y=-26-270$$

Idagdag ang -26 sa -270.

$$74y=-296$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 74.

$$y=-4$$

I-substitute ang -4 para sa y sa x-12y=45. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x-12\left(-4\right)=45$$

I-multiply ang -12 times -4.

$$x+48=45$$

I-subtract ang 48 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-3$$

Nalutas na ang system.

$$x=-3,y=-4$$