Lutasin ang {l}{3*a+c=5}{a-c=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 \cdot a + c = 5 } \\ { a - c = 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang a, c

$$a=3$$

$$c=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3a+c=5,a-c=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a sa pamamagitan ng pag-isolate sa a sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3a+c=5$$

I-subtract ang c mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3a=-c+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-c+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -c+5.

$$a=-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}$$

I-substitute ang \frac{-c+5}{3} para sa a sa kabilang equation na a-c=7.

$$-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}-c=7$$

Idagdag ang -\frac{c}{3} sa -c.

$$-\frac{4}{3}c+\frac{5}{3}=7$$

I-subtract ang \frac{5}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{4}{3}c=\frac{16}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{4}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$c=-4$$

I-substitute ang -4 para sa c sa a=-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{5}{3}$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times -4.

$$a=\frac{4+5}{3}$$

Idagdag ang \frac{5}{3} sa \frac{4}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$a=3$$

Nalutas na ang system.

$$a=3,c=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3a+c=5,a-c=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&\frac{3}{3\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{3}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at c.

$$a=3,c=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3a+c=5,a-c=7$$

Para gawing magkatumbas ang 3a at a, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$3a+c=5,3a+3\left(-1\right)c=3\times 7$$

Pasimplehin.

$$3a+c=5,3a-3c=21$$

I-subtract ang 3a-3c=21 mula sa 3a+c=5 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3a-3a+c+3c=5-21$$

Idagdag ang 3a sa -3a. Naka-cancel out ang term na 3a at -3a ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$c+3c=5-21$$

Idagdag ang c sa 3c.

$$4c=5-21$$

Idagdag ang 5 sa -21.

$$4c=-16$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$c=-4$$

I-substitute ang -4 para sa c sa a-c=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a-\left(-4\right)=7$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$a=3$$

Nalutas na ang system.

$$a=3,c=-4$$