Lutasin ang {l}{2x+y=7}{4x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 7 } \\ { 4 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+y=7,4x-y=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+y=7$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-y+7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -y+7.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

I-substitute ang \frac{-y+7}{2} para sa x sa kabilang equation na 4x-y=5.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)-y=5$$

I-multiply ang 4 times \frac{-y+7}{2}.

$$-2y+14-y=5$$

Idagdag ang -2y sa -y.

$$-3y+14=5$$

I-subtract ang 14 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3y=-9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times 3.

$$x=\frac{-3+7}{2}$$

Idagdag ang \frac{7}{2} sa -\frac{3}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+y=7,4x-y=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 7+\frac{1}{6}\times 5\\\frac{2}{3}\times 7-\frac{1}{3}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+y=7,4x-y=5$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$4\times 2x+4y=4\times 7,2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 5$$

Pasimplehin.

$$8x+4y=28,8x-2y=10$$

I-subtract ang 8x-2y=10 mula sa 8x+4y=28 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$8x-8x+4y+2y=28-10$$

Idagdag ang 8x sa -8x. Naka-cancel out ang term na 8x at -8x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$4y+2y=28-10$$

Idagdag ang 4y sa 2y.

$$6y=28-10$$

Idagdag ang 28 sa -10.

$$6y=18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa 4x-y=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x-3=5$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=3$$