Lutasin ang {l}{2x+y=3}{3x+4y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { 3 x + 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+y=3,3x+4y=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+y=3$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-y+3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

I-substitute ang \frac{-y+3}{2} para sa x sa kabilang equation na 3x+4y=7.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+4y=7$$

I-multiply ang 3 times \frac{-y+3}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}+4y=7$$

Idagdag ang -\frac{3y}{2} sa 4y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}=7$$

I-subtract ang \frac{9}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{5}{2}y=\frac{5}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{5}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{-1+3}{2}$$

Idagdag ang \frac{3}{2} sa -\frac{1}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+y=3,3x+4y=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&1\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3}&-\frac{1}{2\times 4-3}\\-\frac{3}{2\times 4-3}&\frac{2}{2\times 4-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 3-\frac{1}{5}\times 7\\-\frac{3}{5}\times 3+\frac{2}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+y=3,3x+4y=7$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$3\times 2x+3y=3\times 3,2\times 3x+2\times 4y=2\times 7$$

Pasimplehin.

$$6x+3y=9,6x+8y=14$$

I-subtract ang 6x+8y=14 mula sa 6x+3y=9 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x+3y-8y=9-14$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3y-8y=9-14$$

Idagdag ang 3y sa -8y.

$$-5y=9-14$$

Idagdag ang 9 sa -14.

$$-5y=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa 3x+4y=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+4=7$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=1$$