Lutasin ang {l}{2x+7y=22}{2x-3y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 22 } \\ { 2 x - 3 y = - 14 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+7y=22$$

I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-7y+22$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+22\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -7y+22.

$$x=-\frac{7}{2}y+11$$

I-substitute ang -\frac{7y}{2}+11 para sa x sa kabilang equation na 2x-3y=-14.

$$2\left(-\frac{7}{2}y+11\right)-3y=-14$$

I-multiply ang 2 times -\frac{7y}{2}+11.

$$-7y+22-3y=-14$$

Idagdag ang -7y sa -3y.

$$-10y+22=-14$$

I-subtract ang 22 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-10y=-36$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$y=\frac{18}{5}$$

I-substitute ang \frac{18}{5} para sa y sa x=-\frac{7}{2}y+11. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{18}{5}+11$$

I-multiply ang -\frac{7}{2} times \frac{18}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{63}{5}+11$$

Idagdag ang 11 sa -\frac{63}{5}.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-7\times 2}&-\frac{7}{2\left(-3\right)-7\times 2}\\-\frac{2}{2\left(-3\right)-7\times 2}&\frac{2}{2\left(-3\right)-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{7}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\times 22+\frac{7}{20}\left(-14\right)\\\frac{1}{10}\times 22-\frac{1}{10}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

I-subtract ang 2x-3y=-14 mula sa 2x+7y=22 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-2x+7y+3y=22+14$$

Idagdag ang 2x sa -2x. Naka-cancel out ang term na 2x at -2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$7y+3y=22+14$$

Idagdag ang 7y sa 3y.

$$10y=22+14$$

Idagdag ang 22 sa 14.

$$10y=36$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$y=\frac{18}{5}$$

I-substitute ang \frac{18}{5} para sa y sa 2x-3y=-14. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x-3\times \frac{18}{5}=-14$$

I-multiply ang -3 times \frac{18}{5}.

$$2x-\frac{54}{5}=-14$$

Idagdag ang \frac{54}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-\frac{16}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$