Lutasin ang {l}{2x+6y=11}{5x-7y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 6 y = 11 } \\ { 5 x - 7 y = 10 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{137}{44} = 3\frac{5}{44} \approx 3.113636364$$

$$y=\frac{35}{44}\approx 0.795454545$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+6y=11,5x-7y=10$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+6y=11$$

I-subtract ang 6y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-6y+11$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-6y+11\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -6y+11.

$$x=-3y+\frac{11}{2}$$

I-substitute ang -3y+\frac{11}{2} para sa x sa kabilang equation na 5x-7y=10.

$$5\left(-3y+\frac{11}{2}\right)-7y=10$$

I-multiply ang 5 times -3y+\frac{11}{2}.

$$-15y+\frac{55}{2}-7y=10$$

Idagdag ang -15y sa -7y.

$$-22y+\frac{55}{2}=10$$

I-subtract ang \frac{55}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-22y=-\frac{35}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -22.

$$y=\frac{35}{44}$$

I-substitute ang \frac{35}{44} para sa y sa x=-3y+\frac{11}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-3\times \frac{35}{44}+\frac{11}{2}$$

I-multiply ang -3 times \frac{35}{44}.

$$x=-\frac{105}{44}+\frac{11}{2}$$

Idagdag ang \frac{11}{2} sa -\frac{105}{44} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{137}{44}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{137}{44},y=\frac{35}{44}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+6y=11,5x-7y=10$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-6\times 5}&-\frac{6}{2\left(-7\right)-6\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-7\right)-6\times 5}&\frac{2}{2\left(-7\right)-6\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{44}&\frac{3}{22}\\\frac{5}{44}&-\frac{1}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{44}\times 11+\frac{3}{22}\times 10\\\frac{5}{44}\times 11-\frac{1}{22}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{44}\\\frac{35}{44}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{137}{44},y=\frac{35}{44}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+6y=11,5x-7y=10$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$5\times 2x+5\times 6y=5\times 11,2\times 5x+2\left(-7\right)y=2\times 10$$

Pasimplehin.

$$10x+30y=55,10x-14y=20$$

I-subtract ang 10x-14y=20 mula sa 10x+30y=55 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$10x-10x+30y+14y=55-20$$

Idagdag ang 10x sa -10x. Naka-cancel out ang term na 10x at -10x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$30y+14y=55-20$$

Idagdag ang 30y sa 14y.

$$44y=55-20$$

Idagdag ang 55 sa -20.

$$44y=35$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 44.

$$y=\frac{35}{44}$$

I-substitute ang \frac{35}{44} para sa y sa 5x-7y=10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x-7\times \frac{35}{44}=10$$

I-multiply ang -7 times \frac{35}{44}.

$$5x-\frac{245}{44}=10$$

Idagdag ang \frac{245}{44} sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=\frac{685}{44}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{137}{44}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{137}{44},y=\frac{35}{44}$$