Lutasin ang {l}{2x+2y=6}{7y-5x=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 6 } \\ { 7 y - 5 x = 11 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+2y=6$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-2y+6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+6\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -2y+6.

$$x=-y+3$$

I-substitute ang -y+3 para sa x sa kabilang equation na -5x+7y=11.

$$-5\left(-y+3\right)+7y=11$$

I-multiply ang -5 times -y+3.

$$5y-15+7y=11$$

Idagdag ang 5y sa 7y.

$$12y-15=11$$

Idagdag ang 15 sa magkabilang dulo ng equation.

$$12y=26$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 12.

$$y=\frac{13}{6}$$

I-substitute ang \frac{13}{6} para sa y sa x=-y+3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{13}{6}+3$$

Idagdag ang 3 sa -\frac{13}{6}.

$$x=\frac{5}{6}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-2\left(-5\right)}&-\frac{2}{2\times 7-2\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{2\times 7-2\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-2\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{24}&-\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{24}\times 6-\frac{1}{12}\times 11\\\frac{5}{24}\times 6+\frac{1}{12}\times 11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{13}{6}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at -5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$-5\times 2x-5\times 2y=-5\times 6,2\left(-5\right)x+2\times 7y=2\times 11$$

Pasimplehin.

$$-10x-10y=-30,-10x+14y=22$$

I-subtract ang -10x+14y=22 mula sa -10x-10y=-30 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-10x+10x-10y-14y=-30-22$$

Idagdag ang -10x sa 10x. Naka-cancel out ang term na -10x at 10x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-10y-14y=-30-22$$

Idagdag ang -10y sa -14y.

$$-24y=-30-22$$

Idagdag ang -30 sa -22.

$$-24y=-52$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -24.

$$y=\frac{13}{6}$$

I-substitute ang \frac{13}{6} para sa y sa -5x+7y=11. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-5x+7\times \frac{13}{6}=11$$

I-multiply ang 7 times \frac{13}{6}.

$$-5x+\frac{91}{6}=11$$

I-subtract ang \frac{91}{6} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-5x=-\frac{25}{6}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$x=\frac{5}{6}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$