Lutasin ang {l}{10x+7y=129.80}{12x+8y=152.2}

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 7 y = 129.80 } \\ { 12 x + 8 y = 152.2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=6.75$$

$$y=8.9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$10x+7y=129.8,12x+8y=152.2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$10x+7y=129.8$$

I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$10x=-7y+129.8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-7y+129.8\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{10} times -7y+129.8.

$$x=-\frac{7}{10}y+\frac{649}{50}$$

I-substitute ang -\frac{7y}{10}+\frac{649}{50} para sa x sa kabilang equation na 12x+8y=152.2.

$$12\left(-\frac{7}{10}y+\frac{649}{50}\right)+8y=152.2$$

I-multiply ang 12 times -\frac{7y}{10}+\frac{649}{50}.

$$-\frac{42}{5}y+\frac{3894}{25}+8y=152.2$$

Idagdag ang -\frac{42y}{5} sa 8y.

$$-\frac{2}{5}y+\frac{3894}{25}=152.2$$

I-subtract ang \frac{3894}{25} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{2}{5}y=-\frac{89}{25}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{2}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{89}{10}$$

I-substitute ang \frac{89}{10} para sa y sa x=-\frac{7}{10}y+\frac{649}{50}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{7}{10}\times \frac{89}{10}+\frac{649}{50}$$

I-multiply ang -\frac{7}{10} times \frac{89}{10} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{623}{100}+\frac{649}{50}$$

Idagdag ang \frac{649}{50} sa -\frac{623}{100} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{27}{4}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{27}{4},y=\frac{89}{10}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$10x+7y=129.8,12x+8y=152.2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}10&7\\12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}129.8\\152.2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}10&7\\12&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&7\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&7\\12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&7\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}129.8\\152.2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&7\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}129.8\\152.2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&7\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}129.8\\152.2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{10\times 8-7\times 12}&-\frac{7}{10\times 8-7\times 12}\\-\frac{12}{10\times 8-7\times 12}&\frac{10}{10\times 8-7\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}129.8\\152.2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{7}{4}\\3&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}129.8\\152.2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 129.8+\frac{7}{4}\times 152.2\\3\times 129.8-\frac{5}{2}\times 152.2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{4}\\\frac{89}{10}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{27}{4},y=\frac{89}{10}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$10x+7y=129.8,12x+8y=152.2$$

Para gawing magkatumbas ang 10x at 12x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 12 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 10.

$$12\times 10x+12\times 7y=12\times 129.8,10\times 12x+10\times 8y=10\times 152.2$$

Pasimplehin.

$$120x+84y=1557.6,120x+80y=1522$$

I-subtract ang 120x+80y=1522 mula sa 120x+84y=1557.6 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$120x-120x+84y-80y=1557.6-1522$$

Idagdag ang 120x sa -120x. Naka-cancel out ang term na 120x at -120x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$84y-80y=1557.6-1522$$

Idagdag ang 84y sa -80y.

$$4y=1557.6-1522$$

Idagdag ang 1557.6 sa -1522.

$$4y=35.6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$y=\frac{89}{10}$$

I-substitute ang \frac{89}{10} para sa y sa 12x+8y=152.2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$12x+8\times \frac{89}{10}=152.2$$

I-multiply ang 8 times \frac{89}{10}.

$$12x+\frac{356}{5}=152.2$$

I-subtract ang \frac{356}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$12x=81$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 12.

$$x=\frac{27}{4}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{27}{4},y=\frac{89}{10}$$