Lutasin ang {l}{1=2r-3s}{4=3r+2s}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 = 2 r - 3 s } \\ { 4 = 3 r + 2 s } \end{array} \right.$$

I-solve ang r, s

$$r = \frac{14}{13} = 1\frac{1}{13} \approx 1.076923077$$

$$s=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$2r-3s=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$3r+2s=4$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa r sa pamamagitan ng pag-isolate sa r sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2r-3s=1$$

Idagdag ang 3s sa magkabilang dulo ng equation.

$$2r=3s+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$r=\frac{1}{2}\left(3s+1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 3s+1.

$$r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}$$

I-substitute ang \frac{3s+1}{2} para sa r sa kabilang equation na 3r+2s=4.

$$3\left(\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}\right)+2s=4$$

I-multiply ang 3 times \frac{3s+1}{2}.

$$\frac{9}{2}s+\frac{3}{2}+2s=4$$

Idagdag ang \frac{9s}{2} sa 2s.

$$\frac{13}{2}s+\frac{3}{2}=4$$

I-subtract ang \frac{3}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{13}{2}s=\frac{5}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{13}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$s=\frac{5}{13}$$

I-substitute ang \frac{5}{13} para sa s sa r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang r nang direkta.

$$r=\frac{3}{2}\times \frac{5}{13}+\frac{1}{2}$$

I-multiply ang \frac{3}{2} times \frac{5}{13} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$r=\frac{15}{26}+\frac{1}{2}$$

Idagdag ang \frac{1}{2} sa \frac{15}{26} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$r=\frac{14}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$2r-3s=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$3r+2s=4$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}+\frac{3}{13}\times 4\\-\frac{3}{13}+\frac{2}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na r at s.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$2r-3s=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$3r+2s=4$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Para gawing magkatumbas ang 2r at 3r, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$3\times 2r+3\left(-3\right)s=3,2\times 3r+2\times 2s=2\times 4$$

Pasimplehin.

$$6r-9s=3,6r+4s=8$$

I-subtract ang 6r+4s=8 mula sa 6r-9s=3 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6r-6r-9s-4s=3-8$$

Idagdag ang 6r sa -6r. Naka-cancel out ang term na 6r at -6r ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-9s-4s=3-8$$

Idagdag ang -9s sa -4s.

$$-13s=3-8$$

Idagdag ang 3 sa -8.

$$-13s=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -13.

$$s=\frac{5}{13}$$

I-substitute ang \frac{5}{13} para sa s sa 3r+2s=4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang r nang direkta.

$$3r+2\times \frac{5}{13}=4$$

I-multiply ang 2 times \frac{5}{13}.

$$3r+\frac{10}{13}=4$$

I-subtract ang \frac{10}{13} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3r=\frac{42}{13}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$r=\frac{14}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$