Lutasin ang {l}{-x-3y=12}{-5x-9y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 3 y = 12 } \\ { - 5 x - 9 y = 18 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=9$$

$$y=-7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-x-3y=12,-5x-9y=18$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-x-3y=12$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=3y+12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=-\left(3y+12\right)$$

I-multiply ang -1 times 12+3y.

$$x=-3y-12$$

I-substitute ang -3y-12 para sa x sa kabilang equation na -5x-9y=18.

$$-5\left(-3y-12\right)-9y=18$$

I-multiply ang -5 times -3y-12.

$$15y+60-9y=18$$

Idagdag ang 15y sa -9y.

$$6y+60=18$$

I-subtract ang 60 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6y=-42$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$y=-7$$

I-substitute ang -7 para sa y sa x=-3y-12. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-3\left(-7\right)-12$$

I-multiply ang -3 times -7.

$$x=21-12$$

Idagdag ang -12 sa 21.

$$x=9$$

Nalutas na ang system.

$$x=9,y=-7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-x-3y=12,-5x-9y=18$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{1}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 18\\-\frac{5}{6}\times 12+\frac{1}{6}\times 18\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-7\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=9,y=-7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-x-3y=12,-5x-9y=18$$

Para gawing magkatumbas ang -x at -5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -1.

$$-5\left(-1\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 12,-\left(-5\right)x-\left(-9y\right)=-18$$

Pasimplehin.

$$5x+15y=-60,5x+9y=-18$$

I-subtract ang 5x+9y=-18 mula sa 5x+15y=-60 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$5x-5x+15y-9y=-60+18$$

Idagdag ang 5x sa -5x. Naka-cancel out ang term na 5x at -5x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$15y-9y=-60+18$$

Idagdag ang 15y sa -9y.

$$6y=-60+18$$

Idagdag ang -60 sa 18.

$$6y=-42$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$y=-7$$

I-substitute ang -7 para sa y sa -5x-9y=18. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-5x-9\left(-7\right)=18$$

I-multiply ang -9 times -7.

$$-5x+63=18$$

I-subtract ang 63 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-5x=-45$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$x=9$$

Nalutas na ang system.

$$x=9,y=-7$$