Lutasin ang {l}{-x+y=2}{2y=9x+9}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + y = 2 } \\ { 2 y = 9 x + 9 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

$$y = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 9x mula sa magkabilang dulo.

$$2y-9x=9$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-x+y=2$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=-y+2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=-\left(-y+2\right)$$

I-multiply ang -1 times -y+2.

$$x=y-2$$

I-substitute ang y-2 para sa x sa kabilang equation na -9x+2y=9.

$$-9\left(y-2\right)+2y=9$$

I-multiply ang -9 times y-2.

$$-9y+18+2y=9$$

Idagdag ang -9y sa 2y.

$$-7y+18=9$$

I-subtract ang 18 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-7y=-9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$y=\frac{9}{7}$$

I-substitute ang \frac{9}{7} para sa y sa x=y-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{9}{7}-2$$

Idagdag ang -2 sa \frac{9}{7}.

$$x=-\frac{5}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 9x mula sa magkabilang dulo.

$$2y-9x=9$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{9}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\\\frac{9}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\\\frac{9}{7}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 9x mula sa magkabilang dulo.

$$2y-9x=9$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

Para gawing magkatumbas ang -x at -9x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -9 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -1.

$$-9\left(-1\right)x-9y=-9\times 2,-\left(-9\right)x-2y=-9$$

Pasimplehin.

$$9x-9y=-18,9x-2y=-9$$

I-subtract ang 9x-2y=-9 mula sa 9x-9y=-18 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$9x-9x-9y+2y=-18+9$$

Idagdag ang 9x sa -9x. Naka-cancel out ang term na 9x at -9x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-9y+2y=-18+9$$

Idagdag ang -9y sa 2y.

$$-7y=-18+9$$

Idagdag ang -18 sa 9.

$$-7y=-9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$y=\frac{9}{7}$$

I-substitute ang \frac{9}{7} para sa y sa -9x+2y=9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-9x+2\times \frac{9}{7}=9$$

I-multiply ang 2 times \frac{9}{7}.

$$-9x+\frac{18}{7}=9$$

I-subtract ang \frac{18}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-9x=\frac{45}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -9.

$$x=-\frac{5}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$