Lutasin ang {l}{-8x-9y=-10}{-4x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 9 y = - 10 } \\ { - 4 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-10$$

$$y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-8x-9y=-10$$

Idagdag ang 9y sa magkabilang dulo ng equation.

$$-8x=9y-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(9y-10\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{8} times 9y-10.

$$x=-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}$$

I-substitute ang -\frac{9y}{8}+\frac{5}{4} para sa x sa kabilang equation na -4x-3y=10.

$$-4\left(-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}\right)-3y=10$$

I-multiply ang -4 times -\frac{9y}{8}+\frac{5}{4}.

$$\frac{9}{2}y-5-3y=10$$

Idagdag ang \frac{9y}{2} sa -3y.

$$\frac{3}{2}y-5=10$$

Idagdag ang 5 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{3}{2}y=15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{3}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=10$$

I-substitute ang 10 para sa y sa x=-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{9}{8}\times 10+\frac{5}{4}$$

I-multiply ang -\frac{9}{8} times 10.

$$x=\frac{-45+5}{4}$$

Idagdag ang \frac{5}{4} sa -\frac{45}{4} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-10$$

Nalutas na ang system.

$$x=-10,y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}&-\frac{-9}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}&-\frac{8}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)-\frac{3}{4}\times 10\\-\frac{1}{3}\left(-10\right)+\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-10,y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

Para gawing magkatumbas ang -8x at -4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -8.

$$-4\left(-8\right)x-4\left(-9\right)y=-4\left(-10\right),-8\left(-4\right)x-8\left(-3\right)y=-8\times 10$$

Pasimplehin.

$$32x+36y=40,32x+24y=-80$$

I-subtract ang 32x+24y=-80 mula sa 32x+36y=40 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$32x-32x+36y-24y=40+80$$

Idagdag ang 32x sa -32x. Naka-cancel out ang term na 32x at -32x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$36y-24y=40+80$$

Idagdag ang 36y sa -24y.

$$12y=40+80$$

Idagdag ang 40 sa 80.

$$12y=120$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 12.

$$y=10$$

I-substitute ang 10 para sa y sa -4x-3y=10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-4x-3\times 10=10$$

I-multiply ang -3 times 10.

$$-4x-30=10$$

Idagdag ang 30 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4x=40$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=-10$$

Nalutas na ang system.

$$x=-10,y=10$$