Lutasin ang {l}{-5x+8y=0}{-7x-8y=-96}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 8 y = 0 } \\ { - 7 x - 8 y = - 96 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=8$$

$$y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-5x+8y=0,-7x-8y=-96$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-5x+8y=0$$

I-subtract ang 8y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-5x=-8y$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-8\right)y$$

I-multiply ang -\frac{1}{5} times -8y.

$$x=\frac{8}{5}y$$

I-substitute ang \frac{8y}{5} para sa x sa kabilang equation na -7x-8y=-96.

$$-7\times \frac{8}{5}y-8y=-96$$

I-multiply ang -7 times \frac{8y}{5}.

$$-\frac{56}{5}y-8y=-96$$

Idagdag ang -\frac{56y}{5} sa -8y.

$$-\frac{96}{5}y=-96$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{96}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa x=\frac{8}{5}y. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{8}{5}\times 5$$

I-multiply ang \frac{8}{5} times 5.

$$x=8$$

Nalutas na ang system.

$$x=8,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-5x+8y=0,-7x-8y=-96$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}&-\frac{8}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}&-\frac{5}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{96}&-\frac{5}{96}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-96\right)\\-\frac{5}{96}\left(-96\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=8,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-5x+8y=0,-7x-8y=-96$$

Para gawing magkatumbas ang -5x at -7x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -7 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -5.

$$-7\left(-5\right)x-7\times 8y=0,-5\left(-7\right)x-5\left(-8\right)y=-5\left(-96\right)$$

Pasimplehin.

$$35x-56y=0,35x+40y=480$$

I-subtract ang 35x+40y=480 mula sa 35x-56y=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$35x-35x-56y-40y=-480$$

Idagdag ang 35x sa -35x. Naka-cancel out ang term na 35x at -35x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-56y-40y=-480$$

Idagdag ang -56y sa -40y.

$$-96y=-480$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -96.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa -7x-8y=-96. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-7x-8\times 5=-96$$

I-multiply ang -8 times 5.

$$-7x-40=-96$$

Idagdag ang 40 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-7x=-56$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$x=8$$

Nalutas na ang system.

$$x=8,y=5$$