Lutasin ang {l}{-3x+10y=1}{2x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 10 y = 1 } \\ { 2 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-3x+10y=1,2x-y=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-3x+10y=1$$

I-subtract ang 10y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x=-10y+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-10y+1\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times -10y+1.

$$x=\frac{10}{3}y-\frac{1}{3}$$

I-substitute ang \frac{10y-1}{3} para sa x sa kabilang equation na 2x-y=5.

$$2\left(\frac{10}{3}y-\frac{1}{3}\right)-y=5$$

I-multiply ang 2 times \frac{10y-1}{3}.

$$\frac{20}{3}y-\frac{2}{3}-y=5$$

Idagdag ang \frac{20y}{3} sa -y.

$$\frac{17}{3}y-\frac{2}{3}=5$$

Idagdag ang \frac{2}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{17}{3}y=\frac{17}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{17}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa x=\frac{10}{3}y-\frac{1}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{10-1}{3}$$

Idagdag ang -\frac{1}{3} sa \frac{10}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-3x+10y=1,2x-y=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-3&10\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-3&10\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&10\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&10\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&10\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&10\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&10\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-10\times 2}&-\frac{10}{-3\left(-1\right)-10\times 2}\\-\frac{2}{-3\left(-1\right)-10\times 2}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-10\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{10}{17}\\\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}+\frac{10}{17}\times 5\\\frac{2}{17}+\frac{3}{17}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-3x+10y=1,2x-y=5$$

Para gawing magkatumbas ang -3x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -3.

$$2\left(-3\right)x+2\times 10y=2,-3\times 2x-3\left(-1\right)y=-3\times 5$$

Pasimplehin.

$$-6x+20y=2,-6x+3y=-15$$

I-subtract ang -6x+3y=-15 mula sa -6x+20y=2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-6x+6x+20y-3y=2+15$$

Idagdag ang -6x sa 6x. Naka-cancel out ang term na -6x at 6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$20y-3y=2+15$$

Idagdag ang 20y sa -3y.

$$17y=2+15$$

Idagdag ang 2 sa 15.

$$17y=17$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 17.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa 2x-y=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x-1=5$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=1$$