Lutasin ang {l}{-2x+15y=-24}{2x+9y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 15 y = - 24 } \\ { 2 x + 9 y = 24 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=12$$

$$y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-2x+15y=-24,2x+9y=24$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-2x+15y=-24$$

I-subtract ang 15y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=-15y-24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-15y-24\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times -15y-24.

$$x=\frac{15}{2}y+12$$

I-substitute ang \frac{15y}{2}+12 para sa x sa kabilang equation na 2x+9y=24.

$$2\left(\frac{15}{2}y+12\right)+9y=24$$

I-multiply ang 2 times \frac{15y}{2}+12.

$$15y+24+9y=24$$

Idagdag ang 15y sa 9y.

$$24y+24=24$$

I-subtract ang 24 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$24y=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 24.

$$y=0$$

I-substitute ang 0 para sa y sa x=\frac{15}{2}y+12. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=12$$

Nalutas na ang system.

$$x=12,y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-2x+15y=-24,2x+9y=24$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{-2\times 9-15\times 2}&-\frac{15}{-2\times 9-15\times 2}\\-\frac{2}{-2\times 9-15\times 2}&-\frac{2}{-2\times 9-15\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{1}{24}&\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-24\right)+\frac{5}{16}\times 24\\\frac{1}{24}\left(-24\right)+\frac{1}{24}\times 24\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=12,y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-2x+15y=-24,2x+9y=24$$

Para gawing magkatumbas ang -2x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -2.

$$2\left(-2\right)x+2\times 15y=2\left(-24\right),-2\times 2x-2\times 9y=-2\times 24$$

Pasimplehin.

$$-4x+30y=-48,-4x-18y=-48$$

I-subtract ang -4x-18y=-48 mula sa -4x+30y=-48 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-4x+4x+30y+18y=-48+48$$

Idagdag ang -4x sa 4x. Naka-cancel out ang term na -4x at 4x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$30y+18y=-48+48$$

Idagdag ang 30y sa 18y.

$$48y=-48+48$$

Idagdag ang -48 sa 48.

$$48y=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 48.

$$y=0$$

I-substitute ang 0 para sa y sa 2x+9y=24. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x=24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=12$$

Nalutas na ang system.

$$x=12,y=0$$