Lutasin ang {l}{-12x+10y=-10}{6x-7y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 12 x + 10 y = - 10 } \\ { 6 x - 7 y = - 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=5$$

$$y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-12x+10y=-10$$

I-subtract ang 10y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-12x=-10y-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -12.

$$x=-\frac{1}{12}\left(-10y-10\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{12} times -10y-10.

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{5}{6}$$

I-substitute ang \frac{5+5y}{6} para sa x sa kabilang equation na 6x-7y=-5.

$$6\left(\frac{5}{6}y+\frac{5}{6}\right)-7y=-5$$

I-multiply ang 6 times \frac{5+5y}{6}.

$$5y+5-7y=-5$$

Idagdag ang 5y sa -7y.

$$-2y+5=-5$$

I-subtract ang 5 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2y=-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa x=\frac{5}{6}y+\frac{5}{6}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{5}{6}\times 5+\frac{5}{6}$$

I-multiply ang \frac{5}{6} times 5.

$$x=\frac{25+5}{6}$$

Idagdag ang \frac{5}{6} sa \frac{25}{6} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-12\left(-7\right)-10\times 6}&-\frac{10}{-12\left(-7\right)-10\times 6}\\-\frac{6}{-12\left(-7\right)-10\times 6}&-\frac{12}{-12\left(-7\right)-10\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}&-\frac{5}{12}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}\left(-10\right)-\frac{5}{12}\left(-5\right)\\-\frac{1}{4}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=5,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

Para gawing magkatumbas ang -12x at 6x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 6 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -12.

$$6\left(-12\right)x+6\times 10y=6\left(-10\right),-12\times 6x-12\left(-7\right)y=-12\left(-5\right)$$

Pasimplehin.

$$-72x+60y=-60,-72x+84y=60$$

I-subtract ang -72x+84y=60 mula sa -72x+60y=-60 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-72x+72x+60y-84y=-60-60$$

Idagdag ang -72x sa 72x. Naka-cancel out ang term na -72x at 72x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$60y-84y=-60-60$$

Idagdag ang 60y sa -84y.

$$-24y=-60-60$$

Idagdag ang -60 sa -60.

$$-24y=-120$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -24.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa 6x-7y=-5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$6x-7\times 5=-5$$

I-multiply ang -7 times 5.

$$6x-35=-5$$

Idagdag ang 35 sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=5$$