Lutasin ang {l}{-10x-y=13}{8x+3y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x - y = 13 } \\ { 8 x + 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-10x-y=13,8x+3y=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-10x-y=13$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$-10x=y+13$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(y+13\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{10} times y+13.

$$x=-\frac{1}{10}y-\frac{13}{10}$$

I-substitute ang \frac{-y-13}{10} para sa x sa kabilang equation na 8x+3y=5.

$$8\left(-\frac{1}{10}y-\frac{13}{10}\right)+3y=5$$

I-multiply ang 8 times \frac{-y-13}{10}.

$$-\frac{4}{5}y-\frac{52}{5}+3y=5$$

Idagdag ang -\frac{4y}{5} sa 3y.

$$\frac{11}{5}y-\frac{52}{5}=5$$

Idagdag ang \frac{52}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{11}{5}y=\frac{77}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{11}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=7$$

I-substitute ang 7 para sa y sa x=-\frac{1}{10}y-\frac{13}{10}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{10}\times 7-\frac{13}{10}$$

I-multiply ang -\frac{1}{10} times 7.

$$x=\frac{-7-13}{10}$$

Idagdag ang -\frac{13}{10} sa -\frac{7}{10} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-2$$

Nalutas na ang system.

$$x=-2,y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-10x-y=13,8x+3y=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-10&-1\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-10&-1\\8&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-1\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-1\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-1\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-1\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-1\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-10\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{-1}{-10\times 3-\left(-8\right)}\\-\frac{8}{-10\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{10}{-10\times 3-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{22}&-\frac{1}{22}\\\frac{4}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{22}\times 13-\frac{1}{22}\times 5\\\frac{4}{11}\times 13+\frac{5}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-2,y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-10x-y=13,8x+3y=5$$

Para gawing magkatumbas ang -10x at 8x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 8 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -10.

$$8\left(-10\right)x+8\left(-1\right)y=8\times 13,-10\times 8x-10\times 3y=-10\times 5$$

Pasimplehin.

$$-80x-8y=104,-80x-30y=-50$$

I-subtract ang -80x-30y=-50 mula sa -80x-8y=104 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-80x+80x-8y+30y=104+50$$

Idagdag ang -80x sa 80x. Naka-cancel out ang term na -80x at 80x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-8y+30y=104+50$$

Idagdag ang -8y sa 30y.

$$22y=104+50$$

Idagdag ang 104 sa 50.

$$22y=154$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 22.

$$y=7$$

I-substitute ang 7 para sa y sa 8x+3y=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$8x+3\times 7=5$$

I-multiply ang 3 times 7.

$$8x+21=5$$

I-subtract ang 21 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=-16$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=-2$$

Nalutas na ang system.

$$x=-2,y=7$$