Lutasin ang {l}{(x-2)(y+5)=(x-1)(y+2)}{(y-3)(x+4)=(x+7)(y-4)}

$$\left. \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ( y + 5 ) = ( x - 1 ) ( y + 2 ) } \\ { ( y - 3 ) ( x + 4 ) = ( x + 7 ) ( y - 4 ) } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=5$$

$$y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x-2 gamit ang y+5.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x-1 gamit ang y+2.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

I-subtract ang xy mula sa magkabilang dulo.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

Pagsamahin ang xy at -xy para makuha ang 0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

Pagsamahin ang 5x at -2x para makuha ang 3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

Idagdag ang y sa parehong bahagi.

$$3x-2y-10+y=-2$$

Pagsamahin ang -2y at y para makuha ang -y.

$$3x-y-10=-2$$

Idagdag ang 10 sa parehong bahagi.

$$3x-y=-2+10$$

Idagdag ang -2 at 10 para makuha ang 8.

$$3x-y=8$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang y-3 gamit ang x+4.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x+7 gamit ang y-4.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

I-subtract ang xy mula sa magkabilang dulo.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

Pagsamahin ang yx at -xy para makuha ang 0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

Idagdag ang 4x sa parehong bahagi.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

Pagsamahin ang -3x at 4x para makuha ang x.

$$4y+x-12=7y-28$$

I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo.

$$4y+x-12-7y=-28$$

Pagsamahin ang 4y at -7y para makuha ang -3y.

$$-3y+x-12=-28$$

Idagdag ang 12 sa parehong bahagi.

$$-3y+x=-28+12$$

Idagdag ang -28 at 12 para makuha ang -16.

$$-3y+x=-16$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x-y=8$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=y+8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times y+8.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

I-substitute ang \frac{8+y}{3} para sa x sa kabilang equation na x-3y=-16.

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}-3y=-16$$

Idagdag ang \frac{y}{3} sa -3y.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{8}{3}=-16$$

I-subtract ang \frac{8}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{8}{3}y=-\frac{56}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{8}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=7$$

I-substitute ang 7 para sa y sa x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{3}\times 7+\frac{8}{3}$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 7.

$$x=\frac{7+8}{3}$$

Idagdag ang \frac{8}{3} sa \frac{7}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x-2 gamit ang y+5.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x-1 gamit ang y+2.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

I-subtract ang xy mula sa magkabilang dulo.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

Pagsamahin ang xy at -xy para makuha ang 0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

Pagsamahin ang 5x at -2x para makuha ang 3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

Idagdag ang y sa parehong bahagi.

$$3x-2y-10+y=-2$$

Pagsamahin ang -2y at y para makuha ang -y.

$$3x-y-10=-2$$

Idagdag ang 10 sa parehong bahagi.

$$3x-y=-2+10$$

Idagdag ang -2 at 10 para makuha ang 8.

$$3x-y=8$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang y-3 gamit ang x+4.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x+7 gamit ang y-4.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

I-subtract ang xy mula sa magkabilang dulo.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

Pagsamahin ang yx at -xy para makuha ang 0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

Idagdag ang 4x sa parehong bahagi.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

Pagsamahin ang -3x at 4x para makuha ang x.

$$4y+x-12=7y-28$$

I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo.

$$4y+x-12-7y=-28$$

Pagsamahin ang 4y at -7y para makuha ang -3y.

$$-3y+x-12=-28$$

Idagdag ang 12 sa parehong bahagi.

$$-3y+x=-28+12$$

Idagdag ang -28 at 12 para makuha ang -16.

$$-3y+x=-16$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 8-\frac{1}{8}\left(-16\right)\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{8}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=5,y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x-2 gamit ang y+5.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x-1 gamit ang y+2.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

I-subtract ang xy mula sa magkabilang dulo.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

Pagsamahin ang xy at -xy para makuha ang 0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

Pagsamahin ang 5x at -2x para makuha ang 3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

Idagdag ang y sa parehong bahagi.

$$3x-2y-10+y=-2$$

Pagsamahin ang -2y at y para makuha ang -y.

$$3x-y-10=-2$$

Idagdag ang 10 sa parehong bahagi.

$$3x-y=-2+10$$

Idagdag ang -2 at 10 para makuha ang 8.

$$3x-y=8$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang y-3 gamit ang x+4.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x+7 gamit ang y-4.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

I-subtract ang xy mula sa magkabilang dulo.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

Pagsamahin ang yx at -xy para makuha ang 0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

Idagdag ang 4x sa parehong bahagi.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

Pagsamahin ang -3x at 4x para makuha ang x.

$$4y+x-12=7y-28$$

I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo.

$$4y+x-12-7y=-28$$

Pagsamahin ang 4y at -7y para makuha ang -3y.

$$-3y+x-12=-28$$

Idagdag ang 12 sa parehong bahagi.

$$-3y+x=-28+12$$

Idagdag ang -28 at 12 para makuha ang -16.

$$-3y+x=-16$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$3x-y=8,3x+3\left(-3\right)y=3\left(-16\right)$$

Pasimplehin.

$$3x-y=8,3x-9y=-48$$

I-subtract ang 3x-9y=-48 mula sa 3x-y=8 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3x-3x-y+9y=8+48$$

Idagdag ang 3x sa -3x. Naka-cancel out ang term na 3x at -3x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-y+9y=8+48$$

Idagdag ang -y sa 9y.

$$8y=8+48$$

Idagdag ang 8 sa 48.

$$8y=56$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$y=7$$

I-substitute ang 7 para sa y sa x-3y=-16. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x-3\times 7=-16$$

I-multiply ang -3 times 7.

$$x-21=-16$$

Idagdag ang 21 sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=7$$