Lutasin ang {l}{x-3/5=y-7/2}{11x=13y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x - 3 } { 5 } = \frac { y - 7 } { 2 } } \\ { 11 x = 13 y } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=13$$

$$y=11$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 10, ang least common multiple ng 5,2.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-3.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 5 gamit ang y-7.

$$2x-6=5y-35$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo.

$$2x-6-5y=-35$$

Idagdag ang 6 sa parehong bahagi.

$$2x-5y=-35+6$$

Idagdag ang -35 at 6 para makuha ang -29.

$$2x-5y=-29$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 13y mula sa magkabilang dulo.

$$11x-13y=0$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x-5y=-29$$

Idagdag ang 5y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=5y-29$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-29\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 5y-29.

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}$$

I-substitute ang \frac{5y-29}{2} para sa x sa kabilang equation na 11x-13y=0.

$$11\left(\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}\right)-13y=0$$

I-multiply ang 11 times \frac{5y-29}{2}.

$$\frac{55}{2}y-\frac{319}{2}-13y=0$$

Idagdag ang \frac{55y}{2} sa -13y.

$$\frac{29}{2}y-\frac{319}{2}=0$$

Idagdag ang \frac{319}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{29}{2}y=\frac{319}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{29}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=11$$

I-substitute ang 11 para sa y sa x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{5}{2}\times 11-\frac{29}{2}$$

I-multiply ang \frac{5}{2} times 11.

$$x=\frac{55-29}{2}$$

Idagdag ang -\frac{29}{2} sa \frac{55}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=13$$

Nalutas na ang system.

$$x=13,y=11$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 10, ang least common multiple ng 5,2.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-3.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 5 gamit ang y-7.

$$2x-6=5y-35$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo.

$$2x-6-5y=-35$$

Idagdag ang 6 sa parehong bahagi.

$$2x-5y=-35+6$$

Idagdag ang -35 at 6 para makuha ang -29.

$$2x-5y=-29$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 13y mula sa magkabilang dulo.

$$11x-13y=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&-\frac{-5}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\\-\frac{11}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&\frac{2}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}&\frac{5}{29}\\-\frac{11}{29}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}\left(-29\right)\\-\frac{11}{29}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=13,y=11$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 10, ang least common multiple ng 5,2.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-3.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 5 gamit ang y-7.

$$2x-6=5y-35$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo.

$$2x-6-5y=-35$$

Idagdag ang 6 sa parehong bahagi.

$$2x-5y=-35+6$$

Idagdag ang -35 at 6 para makuha ang -29.

$$2x-5y=-29$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 13y mula sa magkabilang dulo.

$$11x-13y=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 11x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 11 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$11\times 2x+11\left(-5\right)y=11\left(-29\right),2\times 11x+2\left(-13\right)y=0$$

Pasimplehin.

$$22x-55y=-319,22x-26y=0$$

I-subtract ang 22x-26y=0 mula sa 22x-55y=-319 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$22x-22x-55y+26y=-319$$

Idagdag ang 22x sa -22x. Naka-cancel out ang term na 22x at -22x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-55y+26y=-319$$

Idagdag ang -55y sa 26y.

$$-29y=-319$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -29.

$$y=11$$

I-substitute ang 11 para sa y sa 11x-13y=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$11x-13\times 11=0$$

I-multiply ang -13 times 11.

$$11x-143=0$$

Idagdag ang 143 sa magkabilang dulo ng equation.

$$11x=143$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 11.

$$x=13$$

Nalutas na ang system.

$$x=13,y=11$$