Lutasin ang {l}{x/5-2=y/10}{5x+45=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } - 2 = \frac { y } { 10 } } \\ { 5 x + 45 = - 7 y } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=5$$

$$y=-10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 10, ang least common multiple ng 5,10.

$$2x-20=y$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$2x-20-y=0$$

Idagdag ang 20 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$2x-y=20$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 7y sa parehong bahagi.

$$5x+45+7y=0$$

I-subtract ang 45 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$5x+7y=-45$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x-y=20$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=y+20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+20\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times y+20.

$$x=\frac{1}{2}y+10$$

I-substitute ang \frac{y}{2}+10 para sa x sa kabilang equation na 5x+7y=-45.

$$5\left(\frac{1}{2}y+10\right)+7y=-45$$

I-multiply ang 5 times \frac{y}{2}+10.

$$\frac{5}{2}y+50+7y=-45$$

Idagdag ang \frac{5y}{2} sa 7y.

$$\frac{19}{2}y+50=-45$$

I-subtract ang 50 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{19}{2}y=-95$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{19}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-10$$

I-substitute ang -10 para sa y sa x=\frac{1}{2}y+10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)+10$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -10.

$$x=-5+10$$

Idagdag ang 10 sa -5.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=-10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 10, ang least common multiple ng 5,10.

$$2x-20=y$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$2x-20-y=0$$

Idagdag ang 20 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$2x-y=20$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 7y sa parehong bahagi.

$$5x+45+7y=0$$

I-subtract ang 45 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$5x+7y=-45$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\times 7-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\times 7-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}\times 20+\frac{1}{19}\left(-45\right)\\-\frac{5}{19}\times 20+\frac{2}{19}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-10\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=5,y=-10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 10, ang least common multiple ng 5,10.

$$2x-20=y$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$2x-20-y=0$$

Idagdag ang 20 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$2x-y=20$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 7y sa parehong bahagi.

$$5x+45+7y=0$$

I-subtract ang 45 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$5x+7y=-45$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=5\times 20,2\times 5x+2\times 7y=2\left(-45\right)$$

Pasimplehin.

$$10x-5y=100,10x+14y=-90$$

I-subtract ang 10x+14y=-90 mula sa 10x-5y=100 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$10x-10x-5y-14y=100+90$$

Idagdag ang 10x sa -10x. Naka-cancel out ang term na 10x at -10x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-5y-14y=100+90$$

Idagdag ang -5y sa -14y.

$$-19y=100+90$$

Idagdag ang 100 sa 90.

$$-19y=190$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -19.

$$y=-10$$

I-substitute ang -10 para sa y sa 5x+7y=-45. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x+7\left(-10\right)=-45$$

I-multiply ang 7 times -10.

$$5x-70=-45$$

Idagdag ang 70 sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=25$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=5$$

Nalutas na ang system.

$$x=5,y=-10$$