Lutasin ang {l}{x/4-3/8y=3}{5/3x-y/2=12}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } - \frac { 3 } { 8 } y = 3 } \\ { \frac { 5 } { 3 } x - \frac { y } { 2 } = 12 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=6$$

$$y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 8, ang least common multiple ng 4,8.

$$2x-3y=24$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$10x-3y=72$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x-3y=24$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=3y+24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 24+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

I-substitute ang \frac{3y}{2}+12 para sa x sa kabilang equation na 10x-3y=72.

$$10\left(\frac{3}{2}y+12\right)-3y=72$$

I-multiply ang 10 times \frac{3y}{2}+12.

$$15y+120-3y=72$$

Idagdag ang 15y sa -3y.

$$12y+120=72$$

I-subtract ang 120 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$12y=-48$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 12.

$$y=-4$$

I-substitute ang -4 para sa y sa x=\frac{3}{2}y+12. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{2}\left(-4\right)+12$$

I-multiply ang \frac{3}{2} times -4.

$$x=-6+12$$

Idagdag ang 12 sa -6.

$$x=6$$

Nalutas na ang system.

$$x=6,y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 8, ang least common multiple ng 4,8.

$$2x-3y=24$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$10x-3y=72$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}\\-\frac{10}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 24+\frac{1}{8}\times 72\\-\frac{5}{12}\times 24+\frac{1}{12}\times 72\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=6,y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 8, ang least common multiple ng 4,8.

$$2x-3y=24$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$10x-3y=72$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

I-subtract ang 10x-3y=72 mula sa 2x-3y=24 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-10x-3y+3y=24-72$$

Idagdag ang -3y sa 3y. Naka-cancel out ang term na -3y at 3y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2x-10x=24-72$$

Idagdag ang 2x sa -10x.

$$-8x=24-72$$

Idagdag ang 24 sa -72.

$$-8x=-48$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.

$$x=6$$

I-substitute ang 6 para sa x sa 10x-3y=72. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$10\times 6-3y=72$$

I-multiply ang 10 times 6.

$$60-3y=72$$

I-subtract ang 60 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3y=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=-4$$

Nalutas na ang system.

$$x=6,y=-4$$