Lutasin ang {l}{27x/25+9/10y=1008}{11/10x+43/5y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 27 x } { 25 } + \frac { 9 } { 10 } y = 1008 } \\ { \frac { 11 } { 10 } x + \frac { 43 } { 5 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{430200}{461} = 933\frac{87}{461} \approx 933.188720174$$

$$y=\frac{80}{461}\approx 0.173535792$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 50, ang least common multiple ng 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

I-multiply ang 2 at 27 para makuha ang 54.

$$54x+45y=50400$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$54x+45y=50400$$

I-subtract ang 45y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$54x=-45y+50400$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 54.

$$x=\frac{1}{54}\left(-45y+50400\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{54} times -45y+50400.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

I-substitute ang -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} para sa x sa kabilang equation na \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{43}{5}y=1028$$

I-multiply ang \frac{11}{10} times -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{11}{12}y+\frac{3080}{3}+\frac{43}{5}y=1028$$

Idagdag ang -\frac{11y}{12} sa \frac{43y}{5}.

$$\frac{461}{60}y+\frac{3080}{3}=1028$$

I-subtract ang \frac{3080}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{461}{60}y=\frac{4}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{461}{60}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{80}{461}$$

I-substitute ang \frac{80}{461} para sa y sa x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{6}\times \frac{80}{461}+\frac{2800}{3}$$

I-multiply ang -\frac{5}{6} times \frac{80}{461} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{200}{1383}+\frac{2800}{3}$$

Idagdag ang \frac{2800}{3} sa -\frac{200}{1383} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{430200}{461}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 50, ang least common multiple ng 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

I-multiply ang 2 at 27 para makuha ang 54.

$$54x+45y=50400$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{43}{5}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&-\frac{45}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&\frac{54}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}&-\frac{50}{461}\\-\frac{11}{4149}&\frac{60}{461}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}\times 50400-\frac{50}{461}\times 1028\\-\frac{11}{4149}\times 50400+\frac{60}{461}\times 1028\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{430200}{461}\\\frac{80}{461}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 50, ang least common multiple ng 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

I-multiply ang 2 at 27 para makuha ang 54.

$$54x+45y=50400$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Para gawing magkatumbas ang 54x at \frac{11x}{10}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang \frac{11}{10} at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 54.

$$\frac{11}{10}\times 54x+\frac{11}{10}\times 45y=\frac{11}{10}\times 50400,54\times \frac{11}{10}x+54\times \frac{43}{5}y=54\times 1028$$

Pasimplehin.

$$\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440,\frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512$$

I-subtract ang \frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512 mula sa \frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\frac{297}{5}x-\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

Idagdag ang \frac{297x}{5} sa -\frac{297x}{5}. Naka-cancel out ang term na \frac{297x}{5} at -\frac{297x}{5} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

Idagdag ang \frac{99y}{2} sa -\frac{2322y}{5}.

$$-\frac{4149}{10}y=55440-55512$$

Idagdag ang 55440 sa -55512.

$$-\frac{4149}{10}y=-72$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{4149}{10}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{80}{461}$$

I-substitute ang \frac{80}{461} para sa y sa \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}\times \frac{80}{461}=1028$$

I-multiply ang \frac{43}{5} times \frac{80}{461} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$\frac{11}{10}x+\frac{688}{461}=1028$$

I-subtract ang \frac{688}{461} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{11}{10}x=\frac{473220}{461}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{11}{10}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=\frac{430200}{461}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$