Lutasin ang {l}{2x-y+3/3-x-2y+3/4=4}{3x-4y+3/4+4x-2y-9/3=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y + 3 } { 3 } - \frac { x - 2 y + 3 } { 4 } = 4 } \\ { \frac { 3 x - 4 y + 3 } { 4 } + \frac { 4 x - 2 y - 9 } { 3 } = 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=7$$

$$y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Pagsamahin ang 8x at -3x para makuha ang 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Pagsamahin ang -4y at 6y para makuha ang 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

I-subtract ang 9 mula sa 12 para makuha ang 3.

$$5x+2y+3=48$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo.

$$5x+2y=48-3$$

I-subtract ang 3 mula sa 48 para makuha ang 45.

$$5x+2y=45$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Pagsamahin ang 9x at 16x para makuha ang 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Pagsamahin ang -12y at -8y para makuha ang -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

I-subtract ang 36 mula sa 9 para makuha ang -27.

$$25x-20y-27=48$$

Idagdag ang 27 sa parehong bahagi.

$$25x-20y=48+27$$

Idagdag ang 48 at 27 para makuha ang 75.

$$25x-20y=75$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x+2y=45$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-2y+45$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+45\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -2y+45.

$$x=-\frac{2}{5}y+9$$

I-substitute ang -\frac{2y}{5}+9 para sa x sa kabilang equation na 25x-20y=75.

$$25\left(-\frac{2}{5}y+9\right)-20y=75$$

I-multiply ang 25 times -\frac{2y}{5}+9.

$$-10y+225-20y=75$$

Idagdag ang -10y sa -20y.

$$-30y+225=75$$

I-subtract ang 225 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-30y=-150$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -30.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa x=-\frac{2}{5}y+9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{2}{5}\times 5+9$$

I-multiply ang -\frac{2}{5} times 5.

$$x=-2+9$$

Idagdag ang 9 sa -2.

$$x=7$$

Nalutas na ang system.

$$x=7,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Pagsamahin ang 8x at -3x para makuha ang 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Pagsamahin ang -4y at 6y para makuha ang 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

I-subtract ang 9 mula sa 12 para makuha ang 3.

$$5x+2y+3=48$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo.

$$5x+2y=48-3$$

I-subtract ang 3 mula sa 48 para makuha ang 45.

$$5x+2y=45$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Pagsamahin ang 9x at 16x para makuha ang 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Pagsamahin ang -12y at -8y para makuha ang -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

I-subtract ang 36 mula sa 9 para makuha ang -27.

$$25x-20y-27=48$$

Idagdag ang 27 sa parehong bahagi.

$$25x-20y=48+27$$

Idagdag ang 48 at 27 para makuha ang 75.

$$25x-20y=75$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{5\left(-20\right)-2\times 25}&-\frac{2}{5\left(-20\right)-2\times 25}\\-\frac{25}{5\left(-20\right)-2\times 25}&\frac{5}{5\left(-20\right)-2\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{75}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 45+\frac{1}{75}\times 75\\\frac{1}{6}\times 45-\frac{1}{30}\times 75\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=7,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Pagsamahin ang 8x at -3x para makuha ang 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Pagsamahin ang -4y at 6y para makuha ang 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

I-subtract ang 9 mula sa 12 para makuha ang 3.

$$5x+2y+3=48$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo.

$$5x+2y=48-3$$

I-subtract ang 3 mula sa 48 para makuha ang 45.

$$5x+2y=45$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Pagsamahin ang 9x at 16x para makuha ang 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Pagsamahin ang -12y at -8y para makuha ang -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

I-subtract ang 36 mula sa 9 para makuha ang -27.

$$25x-20y-27=48$$

Idagdag ang 27 sa parehong bahagi.

$$25x-20y=48+27$$

Idagdag ang 48 at 27 para makuha ang 75.

$$25x-20y=75$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 25x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 25 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$25\times 5x+25\times 2y=25\times 45,5\times 25x+5\left(-20\right)y=5\times 75$$

Pasimplehin.

$$125x+50y=1125,125x-100y=375$$

I-subtract ang 125x-100y=375 mula sa 125x+50y=1125 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$125x-125x+50y+100y=1125-375$$

Idagdag ang 125x sa -125x. Naka-cancel out ang term na 125x at -125x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$50y+100y=1125-375$$

Idagdag ang 50y sa 100y.

$$150y=1125-375$$

Idagdag ang 1125 sa -375.

$$150y=750$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 150.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa 25x-20y=75. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$25x-20\times 5=75$$

I-multiply ang -20 times 5.

$$25x-100=75$$

Idagdag ang 100 sa magkabilang dulo ng equation.

$$25x=175$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 25.

$$x=7$$

Nalutas na ang system.

$$x=7,y=5$$