Lutasin ang {l}{1/2x-2/3y-5=0}{3y+x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 2 } { 3 } y - 5 = 0 } \\ { 3 y + x = 6 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{114}{13} = 8\frac{10}{13} \approx 8.769230769$$

$$y=-\frac{12}{13}\approx -0.923076923$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0$$

Idagdag ang 5 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y=5$$

Idagdag ang \frac{2y}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{2}x=\frac{2}{3}y+5$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=2\left(\frac{2}{3}y+5\right)$$

I-multiply ang 2 times \frac{2y}{3}+5.

$$x=\frac{4}{3}y+10$$

I-substitute ang \frac{4y}{3}+10 para sa x sa kabilang equation na x+3y=6.

$$\frac{4}{3}y+10+3y=6$$

Idagdag ang \frac{4y}{3} sa 3y.

$$\frac{13}{3}y+10=6$$

I-subtract ang 10 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{13}{3}y=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{13}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{12}{13}$$

I-substitute ang -\frac{12}{13} para sa y sa x=\frac{4}{3}y+10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{4}{3}\left(-\frac{12}{13}\right)+10$$

I-multiply ang \frac{4}{3} times -\frac{12}{13} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{16}{13}+10$$

Idagdag ang 10 sa -\frac{16}{13}.

$$x=\frac{114}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}&-\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}&\frac{4}{13}\\-\frac{6}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\times 5+\frac{4}{13}\times 6\\-\frac{6}{13}\times 5+\frac{3}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{114}{13}\\-\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

Para gawing magkatumbas ang \frac{x}{2} at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\times 3y=\frac{1}{2}\times 6$$

Pasimplehin.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=3$$

I-subtract ang \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=3 mula sa \frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-\frac{3}{2}y-5=-3$$

Idagdag ang \frac{x}{2} sa -\frac{x}{2}. Naka-cancel out ang term na \frac{x}{2} at -\frac{x}{2} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{3}{2}y-5=-3$$

Idagdag ang -\frac{2y}{3} sa -\frac{3y}{2}.

$$-\frac{13}{6}y-5=-3$$

Idagdag ang 5 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{13}{6}y=2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{13}{6}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{12}{13}$$

I-substitute ang -\frac{12}{13} para sa y sa x+3y=6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+3\left(-\frac{12}{13}\right)=6$$

I-multiply ang 3 times -\frac{12}{13}.

$$x-\frac{36}{13}=6$$

Idagdag ang \frac{36}{13} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{114}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$