Lutasin ang {c}{x+y=14025}{x*1850+y*500=22000000}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 14025 } \\ { x \cdot 1850 + y \cdot 500 = 22000000 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{299750}{27} = 11101\frac{23}{27} \approx 11101.851851852$$

$$y = \frac{78925}{27} = 2923\frac{4}{27} \approx 2923.148148148$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=14025,1850x+500y=22000000$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=14025$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+14025$$

I-substitute ang -y+14025 para sa x sa kabilang equation na 1850x+500y=22000000.

$$1850\left(-y+14025\right)+500y=22000000$$

I-multiply ang 1850 times -y+14025.

$$-1850y+25946250+500y=22000000$$

Idagdag ang -1850y sa 500y.

$$-1350y+25946250=22000000$$

I-subtract ang 25946250 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-1350y=-3946250$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1350.

$$y=\frac{78925}{27}$$

I-substitute ang \frac{78925}{27} para sa y sa x=-y+14025. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{78925}{27}+14025$$

Idagdag ang 14025 sa -\frac{78925}{27}.

$$x=\frac{299750}{27}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{299750}{27},y=\frac{78925}{27}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=14025,1850x+500y=22000000$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1850&500\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14025\\22000000\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\1850&500\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1850&500\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1850&500\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1850&500\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14025\\22000000\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1850&500\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14025\\22000000\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1850&500\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14025\\22000000\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{500}{500-1850}&-\frac{1}{500-1850}\\-\frac{1850}{500-1850}&\frac{1}{500-1850}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14025\\22000000\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{27}&\frac{1}{1350}\\\frac{37}{27}&-\frac{1}{1350}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14025\\22000000\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{27}\times 14025+\frac{1}{1350}\times 22000000\\\frac{37}{27}\times 14025-\frac{1}{1350}\times 22000000\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{299750}{27}\\\frac{78925}{27}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{299750}{27},y=\frac{78925}{27}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=14025,1850x+500y=22000000$$

Para gawing magkatumbas ang x at 1850x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1850 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$1850x+1850y=1850\times 14025,1850x+500y=22000000$$

Pasimplehin.

$$1850x+1850y=25946250,1850x+500y=22000000$$

I-subtract ang 1850x+500y=22000000 mula sa 1850x+1850y=25946250 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$1850x-1850x+1850y-500y=25946250-22000000$$

Idagdag ang 1850x sa -1850x. Naka-cancel out ang term na 1850x at -1850x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$1850y-500y=25946250-22000000$$

Idagdag ang 1850y sa -500y.

$$1350y=25946250-22000000$$

Idagdag ang 25946250 sa -22000000.

$$1350y=3946250$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 1350.

$$y=\frac{78925}{27}$$

I-substitute ang \frac{78925}{27} para sa y sa 1850x+500y=22000000. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$1850x+500\times \frac{78925}{27}=22000000$$

I-multiply ang 500 times \frac{78925}{27}.

$$1850x+\frac{39462500}{27}=22000000$$

I-subtract ang \frac{39462500}{27} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$1850x=\frac{554537500}{27}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 1850.

$$x=\frac{299750}{27}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{299750}{27},y=\frac{78925}{27}$$