Lutasin ang {c}{8x+4y=10}{4x+9y=30}

$$\left. \begin{array} { c } { 8 x + 4 y = 10 } \\ { 4 x + 9 y = 30 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-\frac{15}{28}\approx -0.535714286$$

$$y = \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7} \approx 3.571428571$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$8x+4y=10,4x+9y=30$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$8x+4y=10$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=-4y+10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-4y+10\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{8} times -4y+10.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}$$

I-substitute ang -\frac{y}{2}+\frac{5}{4} para sa x sa kabilang equation na 4x+9y=30.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}\right)+9y=30$$

I-multiply ang 4 times -\frac{y}{2}+\frac{5}{4}.

$$-2y+5+9y=30$$

Idagdag ang -2y sa 9y.

$$7y+5=30$$

I-subtract ang 5 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7y=25$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$y=\frac{25}{7}$$

I-substitute ang \frac{25}{7} para sa y sa x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{25}{7}+\frac{5}{4}$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times \frac{25}{7} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{25}{14}+\frac{5}{4}$$

Idagdag ang \frac{5}{4} sa -\frac{25}{14} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{15}{28}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{15}{28},y=\frac{25}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$8x+4y=10,4x+9y=30$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8\times 9-4\times 4}&-\frac{4}{8\times 9-4\times 4}\\-\frac{4}{8\times 9-4\times 4}&\frac{8}{8\times 9-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{56}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{56}\times 10-\frac{1}{14}\times 30\\-\frac{1}{14}\times 10+\frac{1}{7}\times 30\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{28}\\\frac{25}{7}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{15}{28},y=\frac{25}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$8x+4y=10,4x+9y=30$$

Para gawing magkatumbas ang 8x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 8.

$$4\times 8x+4\times 4y=4\times 10,8\times 4x+8\times 9y=8\times 30$$

Pasimplehin.

$$32x+16y=40,32x+72y=240$$

I-subtract ang 32x+72y=240 mula sa 32x+16y=40 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$32x-32x+16y-72y=40-240$$

Idagdag ang 32x sa -32x. Naka-cancel out ang term na 32x at -32x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$16y-72y=40-240$$

Idagdag ang 16y sa -72y.

$$-56y=40-240$$

Idagdag ang 40 sa -240.

$$-56y=-200$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -56.

$$y=\frac{25}{7}$$

I-substitute ang \frac{25}{7} para sa y sa 4x+9y=30. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x+9\times \frac{25}{7}=30$$

I-multiply ang 9 times \frac{25}{7}.

$$4x+\frac{225}{7}=30$$

I-subtract ang \frac{225}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-\frac{15}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=-\frac{15}{28}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{15}{28},y=\frac{25}{7}$$