Lutasin ang {l}{x_{1}-2x_{2}=3}{2x_{1}+3x_{2}=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } - 2 x _ { 2 } = 3 } \\ { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x_1, x_2

$$x_{1} = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$x_{2}=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x_{1}-2x_{2}=3,2x_{1}+3x_{2}=1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x_{1} sa pamamagitan ng pag-isolate sa x_{1} sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x_{1}-2x_{2}=3$$

Idagdag ang 2x_{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x_{1}=2x_{2}+3$$

I-substitute ang 2x_{2}+3 para sa x_{1} sa kabilang equation na 2x_{1}+3x_{2}=1.

$$2\left(2x_{2}+3\right)+3x_{2}=1$$

I-multiply ang 2 times 2x_{2}+3.

$$4x_{2}+6+3x_{2}=1$$

Idagdag ang 4x_{2} sa 3x_{2}.

$$7x_{2}+6=1$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x_{2}=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x_{2}=-\frac{5}{7}$$

I-substitute ang -\frac{5}{7} para sa x_{2} sa x_{1}=2x_{2}+3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x_{1} nang direkta.

$$x_{1}=2\left(-\frac{5}{7}\right)+3$$

I-multiply ang 2 times -\frac{5}{7}.

$$x_{1}=-\frac{10}{7}+3$$

Idagdag ang 3 sa -\frac{10}{7}.

$$x_{1}=\frac{11}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$x_{1}=\frac{11}{7},x_{2}=-\frac{5}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x_{1}-2x_{2}=3,2x_{1}+3x_{2}=1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 3+\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}\times 3+\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{7}\\-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x_{1} at x_{2}.

$$x_{1}=\frac{11}{7},x_{2}=-\frac{5}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x_{1}-2x_{2}=3,2x_{1}+3x_{2}=1$$

Para gawing magkatumbas ang x_{1} at 2x_{1}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$2x_{1}+2\left(-2\right)x_{2}=2\times 3,2x_{1}+3x_{2}=1$$

Pasimplehin.

$$2x_{1}-4x_{2}=6,2x_{1}+3x_{2}=1$$

I-subtract ang 2x_{1}+3x_{2}=1 mula sa 2x_{1}-4x_{2}=6 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x_{1}-2x_{1}-4x_{2}-3x_{2}=6-1$$

Idagdag ang 2x_{1} sa -2x_{1}. Naka-cancel out ang term na 2x_{1} at -2x_{1} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-4x_{2}-3x_{2}=6-1$$

Idagdag ang -4x_{2} sa -3x_{2}.

$$-7x_{2}=6-1$$

Idagdag ang 6 sa -1.

$$-7x_{2}=5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$x_{2}=-\frac{5}{7}$$

I-substitute ang -\frac{5}{7} para sa x_{2} sa 2x_{1}+3x_{2}=1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x_{1} nang direkta.

$$2x_{1}+3\left(-\frac{5}{7}\right)=1$$

I-multiply ang 3 times -\frac{5}{7}.

$$2x_{1}-\frac{15}{7}=1$$

Idagdag ang \frac{15}{7} sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x_{1}=\frac{22}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x_{1}=\frac{11}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$x_{1}=\frac{11}{7},x_{2}=-\frac{5}{7}$$