Lutasin ang {l}{x=3y+4}{y=1/2x-8/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y + 4 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 8 } { 3 } } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=8$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$x-3y=4$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{1}{2}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x-3y=4$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=3y+4$$

I-substitute ang 3y+4 para sa x sa kabilang equation na -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}.

$$-\frac{1}{2}\left(3y+4\right)+y=-\frac{8}{3}$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times 3y+4.

$$-\frac{3}{2}y-2+y=-\frac{8}{3}$$

Idagdag ang -\frac{3y}{2} sa y.

$$-\frac{1}{2}y-2=-\frac{8}{3}$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{2}{3}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$y=\frac{4}{3}$$

I-substitute ang \frac{4}{3} para sa y sa x=3y+4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=3\times \frac{4}{3}+4$$

I-multiply ang 3 times \frac{4}{3}.

$$x=4+4$$

Idagdag ang 4 sa 4.

$$x=8$$

Nalutas na ang system.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$x-3y=4$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{1}{2}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-6\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-6\left(-\frac{8}{3}\right)\\-4-2\left(-\frac{8}{3}\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$x-3y=4$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{1}{2}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Para gawing magkatumbas ang x at -\frac{x}{2}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -\frac{1}{2} at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\left(-3\right)y=-\frac{1}{2}\times 4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Pasimplehin.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

I-subtract ang -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3} mula sa -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

Idagdag ang -\frac{x}{2} sa \frac{x}{2}. Naka-cancel out ang term na -\frac{x}{2} at \frac{x}{2} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

Idagdag ang \frac{3y}{2} sa -y.

$$\frac{1}{2}y=-2+\frac{8}{3}$$

Idagdag ang -2 sa \frac{8}{3}.

$$\frac{1}{2}y=\frac{2}{3}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=\frac{4}{3}$$

I-substitute ang \frac{4}{3} para sa y sa -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

I-subtract ang \frac{4}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{1}{2}x=-4$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=8$$

Nalutas na ang system.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$