Lutasin ang {l}{ty+2=x}{x^2+4y^2=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { t y + 2 = x } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=2\text{, }y=0$$

$$x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution at Quadratic Formula

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$ty+2-x=0$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$ty-x=-2$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$ty-x=-2,x^{2}+4y^{2}=4$$

I-solve ang ty-x=-2 para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang panig ng equal sign.

$$ty-x=-2$$

I-subtract ang -x mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$ty=x-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang t.

$$y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}$$

I-substitute ang \frac{1}{t}x-\frac{2}{t} para sa y sa kabilang equation na x^{2}+4y^{2}=4.

$$x^{2}+4\left(\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

I-square ang \frac{1}{t}x-\frac{2}{t}.

$$x^{2}+4\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}\right)=4$$

I-multiply ang 4 times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}.

$$x^{2}+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

Idagdag ang x^{2} sa 4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}-4=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} para sa a, 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) para sa b, at \frac{16}{t^{2}}-4 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\left(8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}\right)^{2}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

I-square ang 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right).

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

I-multiply ang -4 times 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+\left(-4-\frac{16}{t^{2}}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

I-multiply ang -4-\frac{16}{t^{2}} times \frac{16}{t^{2}}-4.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+16-\frac{256}{t^{4}}}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Idagdag ang \frac{256}{t^{4}} sa -\frac{256}{t^{4}}+16.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{16}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Kunin ang square root ng 16.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±4}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

I-multiply ang 2 times 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}.

$$x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang \frac{16}{t^{2}} sa 4.

$$x=\frac{4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

I-divide ang 4+\frac{16}{t^{2}} gamit ang 2+\frac{8}{t^{2}}.

$$x=2$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 4 mula sa \frac{16}{t^{2}}.

$$x=\frac{-4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

I-divide ang \frac{16}{t^{2}}-4 gamit ang 2+\frac{8}{t^{2}}.

$$x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

May dalawang solution para sa x: 2 at -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}. I-substitute ang 2 para sa x sa equation na y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} para hanapin ang nauugnay na solution para sa y na umaakma sa dalawang equation.

$$y=\frac{1}{t}\times 2-\frac{2}{t}$$

I-multiply ang \frac{1}{t} times 2.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

Ngayon, i-substitute ang -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} para sa x sa equation na y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} at i-solve para hanapin ang nauugnay na solution para sa y na umaakma sa dalawang equation.

$$y=\frac{1}{t}\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)-\frac{2}{t}$$

I-multiply ang \frac{1}{t} times -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}.

$$y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

Nalutas na ang system.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=2\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

I-solve ang x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2\text{, }y=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}\text{, }&t\neq -2i\text{ and }t\neq 2i\end{matrix}\right.$$