Lutasin ang {l}{rx-ry=1}{rx-9y=r}

$$\left\{ \begin{array} { l } { r x - r y = 1 } \\ { r x - 9 y = r } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

$$y=-\frac{1-r}{r-9}$$

$$r\neq 9\text{ and }r\neq 0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$rx+\left(-r\right)y=1$$

Idagdag ang ry sa magkabilang dulo ng equation.

$$rx=ry+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang r.

$$x=\frac{1}{r}\left(ry+1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{r} times ry+1.

$$x=y+\frac{1}{r}$$

I-substitute ang y+\frac{1}{r} para sa x sa kabilang equation na rx-9y=r.

$$r\left(y+\frac{1}{r}\right)-9y=r$$

I-multiply ang r times y+\frac{1}{r}.

$$ry+1-9y=r$$

Idagdag ang ry sa -9y.

$$\left(r-9\right)y+1=r$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(r-9\right)y=r-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang r-9.

$$y=\frac{r-1}{r-9}$$

I-substitute ang \frac{r-1}{r-9} para sa y sa x=y+\frac{1}{r}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{r-1}{r-9}+\frac{1}{r}$$

Idagdag ang \frac{1}{r} sa \frac{r-1}{r-9}.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&-\frac{-r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\\-\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}&\frac{1}{r-9}\\-\frac{1}{r-9}&\frac{1}{r-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}+\frac{1}{r-9}r\\-\frac{1}{r-9}+\frac{1}{r-9}r\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}\\\frac{r-1}{r-9}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

I-subtract ang rx-9y=r mula sa rx+\left(-r\right)y=1 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$rx+\left(-r\right)x+\left(-r\right)y+9y=1-r$$

Idagdag ang rx sa -rx. Naka-cancel out ang term na rx at -rx ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\left(-r\right)y+9y=1-r$$

Idagdag ang -ry sa 9y.

$$\left(9-r\right)y=1-r$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -r+9.

$$y=\frac{1-r}{9-r}$$

I-substitute ang \frac{1-r}{-r+9} para sa y sa rx-9y=r. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$rx-9\times \frac{1-r}{9-r}=r$$

I-multiply ang -9 times \frac{1-r}{-r+9}.

$$rx-\frac{9\left(1-r\right)}{9-r}=r$$

Idagdag ang \frac{9\left(1-r\right)}{-r+9} sa magkabilang dulo ng equation.

$$rx=-\frac{\left(r-3\right)\left(r+3\right)}{9-r}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang r.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)},y=\frac{1-r}{9-r}$$