Lutasin ang {l}{9m-2n=3}{4n+m=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 2 n = 3 } \\ { 4 n + m = - 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang m, n

$$m=\frac{5}{19}\approx 0.263157895$$

$$n=-\frac{6}{19}\approx -0.315789474$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$9m-2n=3,m+4n=-1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa m sa pamamagitan ng pag-isolate sa m sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$9m-2n=3$$

Idagdag ang 2n sa magkabilang dulo ng equation.

$$9m=2n+3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$m=\frac{1}{9}\left(2n+3\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{9} times 2n+3.

$$m=\frac{2}{9}n+\frac{1}{3}$$

I-substitute ang \frac{2n}{9}+\frac{1}{3} para sa m sa kabilang equation na m+4n=-1.

$$\frac{2}{9}n+\frac{1}{3}+4n=-1$$

Idagdag ang \frac{2n}{9} sa 4n.

$$\frac{38}{9}n+\frac{1}{3}=-1$$

I-subtract ang \frac{1}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{38}{9}n=-\frac{4}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{38}{9}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$n=-\frac{6}{19}$$

I-substitute ang -\frac{6}{19} para sa n sa m=\frac{2}{9}n+\frac{1}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang m nang direkta.

$$m=\frac{2}{9}\left(-\frac{6}{19}\right)+\frac{1}{3}$$

I-multiply ang \frac{2}{9} times -\frac{6}{19} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$m=-\frac{4}{57}+\frac{1}{3}$$

Idagdag ang \frac{1}{3} sa -\frac{4}{57} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$m=\frac{5}{19}$$

Nalutas na ang system.

$$m=\frac{5}{19},n=-\frac{6}{19}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$9m-2n=3,m+4n=-1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{9\times 4-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{9\times 4-\left(-2\right)}&\frac{9}{9\times 4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{1}{38}&\frac{9}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 3+\frac{1}{19}\left(-1\right)\\-\frac{1}{38}\times 3+\frac{9}{38}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\\-\frac{6}{19}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na m at n.

$$m=\frac{5}{19},n=-\frac{6}{19}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$9m-2n=3,m+4n=-1$$

Para gawing magkatumbas ang 9m at m, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 9.

$$9m-2n=3,9m+9\times 4n=9\left(-1\right)$$

Pasimplehin.

$$9m-2n=3,9m+36n=-9$$

I-subtract ang 9m+36n=-9 mula sa 9m-2n=3 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$9m-9m-2n-36n=3+9$$

Idagdag ang 9m sa -9m. Naka-cancel out ang term na 9m at -9m ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-2n-36n=3+9$$

Idagdag ang -2n sa -36n.

$$-38n=3+9$$

Idagdag ang 3 sa 9.

$$-38n=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -38.

$$n=-\frac{6}{19}$$

I-substitute ang -\frac{6}{19} para sa n sa m+4n=-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang m nang direkta.

$$m+4\left(-\frac{6}{19}\right)=-1$$

I-multiply ang 4 times -\frac{6}{19}.

$$m-\frac{24}{19}=-1$$

Idagdag ang \frac{24}{19} sa magkabilang dulo ng equation.

$$m=\frac{5}{19}$$

Nalutas na ang system.

$$m=\frac{5}{19},n=-\frac{6}{19}$$