Lutasin ang {l}{78x+40y=1280}{120x+80y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3} \approx -6.666666667$$

$$y=45$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$78x+40y=1280$$

I-subtract ang 40y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$78x=-40y+1280$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 78.

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{78} times -40y+1280.

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

I-substitute ang \frac{-20y+640}{39} para sa x sa kabilang equation na 120x+80y=2800.

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+80y=2800$$

I-multiply ang 120 times \frac{-20y+640}{39}.

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+80y=2800$$

Idagdag ang -\frac{800y}{13} sa 80y.

$$\frac{240}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

I-subtract ang \frac{25600}{13} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{240}{13}y=\frac{10800}{13}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{240}{13}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=45$$

I-substitute ang 45 para sa y sa x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{20}{39}\times 45+\frac{640}{39}$$

I-multiply ang -\frac{20}{39} times 45.

$$x=-\frac{300}{13}+\frac{640}{39}$$

Idagdag ang \frac{640}{39} sa -\frac{300}{13} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{20}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{78\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 80-40\times 120}&\frac{78}{78\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}&-\frac{1}{36}\\-\frac{1}{12}&\frac{13}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}\times 1280-\frac{1}{36}\times 2800\\-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{13}{240}\times 2800\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\\45\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Para gawing magkatumbas ang 78x at 120x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 120 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 78.

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 80y=78\times 2800$$

Pasimplehin.

$$9360x+4800y=153600,9360x+6240y=218400$$

I-subtract ang 9360x+6240y=218400 mula sa 9360x+4800y=153600 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$9360x-9360x+4800y-6240y=153600-218400$$

Idagdag ang 9360x sa -9360x. Naka-cancel out ang term na 9360x at -9360x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$4800y-6240y=153600-218400$$

Idagdag ang 4800y sa -6240y.

$$-1440y=153600-218400$$

Idagdag ang 153600 sa -218400.

$$-1440y=-64800$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1440.

$$y=45$$

I-substitute ang 45 para sa y sa 120x+80y=2800. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$120x+80\times 45=2800$$

I-multiply ang 80 times 45.

$$120x+3600=2800$$

I-subtract ang 3600 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$120x=-800$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 120.

$$x=-\frac{20}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$