Lutasin ang {l}{7m-3n=1}{2n+3m=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 m - 3 n = 1 } \\ { 2 n + 3 m = - 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang m, n

$$m=-\frac{4}{23}\approx -0.173913043$$

$$n=-\frac{17}{23}\approx -0.739130435$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$7m-3n=1,3m+2n=-2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa m sa pamamagitan ng pag-isolate sa m sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$7m-3n=1$$

Idagdag ang 3n sa magkabilang dulo ng equation.

$$7m=3n+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$m=\frac{1}{7}\left(3n+1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{7} times 3n+1.

$$m=\frac{3}{7}n+\frac{1}{7}$$

I-substitute ang \frac{3n+1}{7} para sa m sa kabilang equation na 3m+2n=-2.

$$3\left(\frac{3}{7}n+\frac{1}{7}\right)+2n=-2$$

I-multiply ang 3 times \frac{3n+1}{7}.

$$\frac{9}{7}n+\frac{3}{7}+2n=-2$$

Idagdag ang \frac{9n}{7} sa 2n.

$$\frac{23}{7}n+\frac{3}{7}=-2$$

I-subtract ang \frac{3}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{23}{7}n=-\frac{17}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{23}{7}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$n=-\frac{17}{23}$$

I-substitute ang -\frac{17}{23} para sa n sa m=\frac{3}{7}n+\frac{1}{7}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang m nang direkta.

$$m=\frac{3}{7}\left(-\frac{17}{23}\right)+\frac{1}{7}$$

I-multiply ang \frac{3}{7} times -\frac{17}{23} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$m=-\frac{51}{161}+\frac{1}{7}$$

Idagdag ang \frac{1}{7} sa -\frac{51}{161} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$m=-\frac{4}{23}$$

Nalutas na ang system.

$$m=-\frac{4}{23},n=-\frac{17}{23}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$7m-3n=1,3m+2n=-2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}7&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}7&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{7\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{7\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{3}{23}&\frac{7}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}+\frac{3}{23}\left(-2\right)\\-\frac{3}{23}+\frac{7}{23}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{23}\\-\frac{17}{23}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na m at n.

$$m=-\frac{4}{23},n=-\frac{17}{23}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$7m-3n=1,3m+2n=-2$$

Para gawing magkatumbas ang 7m at 3m, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 7.

$$3\times 7m+3\left(-3\right)n=3,7\times 3m+7\times 2n=7\left(-2\right)$$

Pasimplehin.

$$21m-9n=3,21m+14n=-14$$

I-subtract ang 21m+14n=-14 mula sa 21m-9n=3 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$21m-21m-9n-14n=3+14$$

Idagdag ang 21m sa -21m. Naka-cancel out ang term na 21m at -21m ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-9n-14n=3+14$$

Idagdag ang -9n sa -14n.

$$-23n=3+14$$

Idagdag ang 3 sa 14.

$$-23n=17$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -23.

$$n=-\frac{17}{23}$$

I-substitute ang -\frac{17}{23} para sa n sa 3m+2n=-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang m nang direkta.

$$3m+2\left(-\frac{17}{23}\right)=-2$$

I-multiply ang 2 times -\frac{17}{23}.

$$3m-\frac{34}{23}=-2$$

Idagdag ang \frac{34}{23} sa magkabilang dulo ng equation.

$$3m=-\frac{12}{23}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$m=-\frac{4}{23}$$

Nalutas na ang system.

$$m=-\frac{4}{23},n=-\frac{17}{23}$$