Lutasin ang {l}{5x-3y=13}{-9x-2y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 13 } \\ { - 9 x - 2 y = - 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{32}{37}\approx 0.864864865$$

$$y = -\frac{107}{37} = -2\frac{33}{37} \approx -2.891891892$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-3y=13$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=3y+13$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+13\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 3y+13.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}$$

I-substitute ang \frac{3y+13}{5} para sa x sa kabilang equation na -9x-2y=-2.

$$-9\left(\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}\right)-2y=-2$$

I-multiply ang -9 times \frac{3y+13}{5}.

$$-\frac{27}{5}y-\frac{117}{5}-2y=-2$$

Idagdag ang -\frac{27y}{5} sa -2y.

$$-\frac{37}{5}y-\frac{117}{5}=-2$$

Idagdag ang \frac{117}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{37}{5}y=\frac{107}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{37}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{107}{37}$$

I-substitute ang -\frac{107}{37} para sa y sa x=\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{107}{37}\right)+\frac{13}{5}$$

I-multiply ang \frac{3}{5} times -\frac{107}{37} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{321}{185}+\frac{13}{5}$$

Idagdag ang \frac{13}{5} sa -\frac{321}{185} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{32}{37}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}&-\frac{-3}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}&-\frac{3}{37}\\-\frac{9}{37}&-\frac{5}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}\times 13-\frac{3}{37}\left(-2\right)\\-\frac{9}{37}\times 13-\frac{5}{37}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{32}{37}\\-\frac{107}{37}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at -9x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -9 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$-9\times 5x-9\left(-3\right)y=-9\times 13,5\left(-9\right)x+5\left(-2\right)y=5\left(-2\right)$$

Pasimplehin.

$$-45x+27y=-117,-45x-10y=-10$$

I-subtract ang -45x-10y=-10 mula sa -45x+27y=-117 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-45x+45x+27y+10y=-117+10$$

Idagdag ang -45x sa 45x. Naka-cancel out ang term na -45x at 45x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$27y+10y=-117+10$$

Idagdag ang 27y sa 10y.

$$37y=-117+10$$

Idagdag ang -117 sa 10.

$$37y=-107$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 37.

$$y=-\frac{107}{37}$$

I-substitute ang -\frac{107}{37} para sa y sa -9x-2y=-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-9x-2\left(-\frac{107}{37}\right)=-2$$

I-multiply ang -2 times -\frac{107}{37}.

$$-9x+\frac{214}{37}=-2$$

I-subtract ang \frac{214}{37} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-9x=-\frac{288}{37}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -9.

$$x=\frac{32}{37}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$