Lutasin ang {l}{5x+7y=2060}{1020=2060-(2x+4y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 2060 } \\ { 1020 = 2060 - ( 2 x + 4 y ) } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=160$$

$$y=180$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Para hanapin ang kabaligtaran ng 2x+4y, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$1020=2060-2x-4y$$

Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$2060-2x-4y=1020$$

I-subtract ang 2060 mula sa magkabilang dulo.

$$-2x-4y=1020-2060$$

I-subtract ang 2060 mula sa 1020 para makuha ang -1040.

$$-2x-4y=-1040$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x+7y=2060$$

I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-7y+2060$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+2060\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -7y+2060.

$$x=-\frac{7}{5}y+412$$

I-substitute ang -\frac{7y}{5}+412 para sa x sa kabilang equation na -2x-4y=-1040.

$$-2\left(-\frac{7}{5}y+412\right)-4y=-1040$$

I-multiply ang -2 times -\frac{7y}{5}+412.

$$\frac{14}{5}y-824-4y=-1040$$

Idagdag ang \frac{14y}{5} sa -4y.

$$-\frac{6}{5}y-824=-1040$$

Idagdag ang 824 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{6}{5}y=-216$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{6}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=180$$

I-substitute ang 180 para sa y sa x=-\frac{7}{5}y+412. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{7}{5}\times 180+412$$

I-multiply ang -\frac{7}{5} times 180.

$$x=-252+412$$

Idagdag ang 412 sa -252.

$$x=160$$

Nalutas na ang system.

$$x=160,y=180$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Para hanapin ang kabaligtaran ng 2x+4y, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$1020=2060-2x-4y$$

Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$2060-2x-4y=1020$$

I-subtract ang 2060 mula sa magkabilang dulo.

$$-2x-4y=1020-2060$$

I-subtract ang 2060 mula sa 1020 para makuha ang -1040.

$$-2x-4y=-1040$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&-\frac{7}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 2060+\frac{7}{6}\left(-1040\right)\\-\frac{1}{3}\times 2060-\frac{5}{6}\left(-1040\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}160\\180\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=160,y=180$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Para hanapin ang kabaligtaran ng 2x+4y, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$1020=2060-2x-4y$$

Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$2060-2x-4y=1020$$

I-subtract ang 2060 mula sa magkabilang dulo.

$$-2x-4y=1020-2060$$

I-subtract ang 2060 mula sa 1020 para makuha ang -1040.

$$-2x-4y=-1040$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at -2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$-2\times 5x-2\times 7y=-2\times 2060,5\left(-2\right)x+5\left(-4\right)y=5\left(-1040\right)$$

Pasimplehin.

$$-10x-14y=-4120,-10x-20y=-5200$$

I-subtract ang -10x-20y=-5200 mula sa -10x-14y=-4120 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-10x+10x-14y+20y=-4120+5200$$

Idagdag ang -10x sa 10x. Naka-cancel out ang term na -10x at 10x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-14y+20y=-4120+5200$$

Idagdag ang -14y sa 20y.

$$6y=-4120+5200$$

Idagdag ang -4120 sa 5200.

$$6y=1080$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$y=180$$

I-substitute ang 180 para sa y sa -2x-4y=-1040. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-2x-4\times 180=-1040$$

I-multiply ang -4 times 180.

$$-2x-720=-1040$$

Idagdag ang 720 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=-320$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=160$$

Nalutas na ang system.

$$x=160,y=180$$