Lutasin ang {l}{5x+2y=24}{y=x-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 24 } \\ { y = x - 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=-2$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x+2y=24,-x+y=-2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x+2y=24$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-2y+24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+24\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -2y+24.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{24}{5}$$

I-substitute ang \frac{-2y+24}{5} para sa x sa kabilang equation na -x+y=-2.

$$-\left(-\frac{2}{5}y+\frac{24}{5}\right)+y=-2$$

I-multiply ang -1 times \frac{-2y+24}{5}.

$$\frac{2}{5}y-\frac{24}{5}+y=-2$$

Idagdag ang \frac{2y}{5} sa y.

$$\frac{7}{5}y-\frac{24}{5}=-2$$

Idagdag ang \frac{24}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{7}{5}y=\frac{14}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{7}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa x=-\frac{2}{5}y+\frac{24}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{2}{5}\times 2+\frac{24}{5}$$

I-multiply ang -\frac{2}{5} times 2.

$$x=\frac{-4+24}{5}$$

Idagdag ang \frac{24}{5} sa -\frac{4}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=-2$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x+2y=24,-x+y=-2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{5-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-2\left(-1\right)}&\frac{5}{5-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 24-\frac{2}{7}\left(-2\right)\\\frac{1}{7}\times 24+\frac{5}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=4,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=-2$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x+2y=24,-x+y=-2$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at -x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$-5x-2y=-24,5\left(-1\right)x+5y=5\left(-2\right)$$

Pasimplehin.

$$-5x-2y=-24,-5x+5y=-10$$

I-subtract ang -5x+5y=-10 mula sa -5x-2y=-24 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-5x+5x-2y-5y=-24+10$$

Idagdag ang -5x sa 5x. Naka-cancel out ang term na -5x at 5x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-2y-5y=-24+10$$

Idagdag ang -2y sa -5y.

$$-7y=-24+10$$

Idagdag ang -24 sa 10.

$$-7y=-14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa -x+y=-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-x+2=-2$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=2$$