Lutasin ang {l}{5x+10y=-70}{-8x+30y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 10 y = - 70 } \\ { - 8 x + 30 y = 20 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-10$$

$$y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x+10y=-70$$

I-subtract ang 10y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=-10y-70$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-10y-70\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times -10y-70.

$$x=-2y-14$$

I-substitute ang -2y-14 para sa x sa kabilang equation na -8x+30y=20.

$$-8\left(-2y-14\right)+30y=20$$

I-multiply ang -8 times -2y-14.

$$16y+112+30y=20$$

Idagdag ang 16y sa 30y.

$$46y+112=20$$

I-subtract ang 112 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$46y=-92$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 46.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa x=-2y-14. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-2\left(-2\right)-14$$

I-multiply ang -2 times -2.

$$x=4-14$$

Idagdag ang -14 sa 4.

$$x=-10$$

Nalutas na ang system.

$$x=-10,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{5\times 30-10\left(-8\right)}&-\frac{10}{5\times 30-10\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{5\times 30-10\left(-8\right)}&\frac{5}{5\times 30-10\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{4}{115}&\frac{1}{46}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}\left(-70\right)-\frac{1}{23}\times 20\\\frac{4}{115}\left(-70\right)+\frac{1}{46}\times 20\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-10,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at -8x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -8 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$-8\times 5x-8\times 10y=-8\left(-70\right),5\left(-8\right)x+5\times 30y=5\times 20$$

Pasimplehin.

$$-40x-80y=560,-40x+150y=100$$

I-subtract ang -40x+150y=100 mula sa -40x-80y=560 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-40x+40x-80y-150y=560-100$$

Idagdag ang -40x sa 40x. Naka-cancel out ang term na -40x at 40x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-80y-150y=560-100$$

Idagdag ang -80y sa -150y.

$$-230y=560-100$$

Idagdag ang 560 sa -100.

$$-230y=460$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -230.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa -8x+30y=20. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-8x+30\left(-2\right)=20$$

I-multiply ang 30 times -2.

$$-8x-60=20$$

Idagdag ang 60 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-8x=80$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.

$$x=-10$$

Nalutas na ang system.

$$x=-10,y=-2$$