Lutasin ang {l}{44=112k+b}{16=82k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 112 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

I-solve ang k, b

$$k=\frac{14}{15}\approx 0.933333333$$

$$b = -\frac{908}{15} = -60\frac{8}{15} \approx -60.533333333$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$112k+b=44$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$82k+b=16$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa k sa pamamagitan ng pag-isolate sa k sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$112k+b=44$$

I-subtract ang b mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$112k=-b+44$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 112.

$$k=\frac{1}{112}\left(-b+44\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{112} times -b+44.

$$k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}$$

I-substitute ang -\frac{b}{112}+\frac{11}{28} para sa k sa kabilang equation na 82k+b=16.

$$82\left(-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}\right)+b=16$$

I-multiply ang 82 times -\frac{b}{112}+\frac{11}{28}.

$$-\frac{41}{56}b+\frac{451}{14}+b=16$$

Idagdag ang -\frac{41b}{56} sa b.

$$\frac{15}{56}b+\frac{451}{14}=16$$

I-subtract ang \frac{451}{14} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{15}{56}b=-\frac{227}{14}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{15}{56}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$b=-\frac{908}{15}$$

I-substitute ang -\frac{908}{15} para sa b sa k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang k nang direkta.

$$k=-\frac{1}{112}\left(-\frac{908}{15}\right)+\frac{11}{28}$$

I-multiply ang -\frac{1}{112} times -\frac{908}{15} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$k=\frac{227}{420}+\frac{11}{28}$$

Idagdag ang \frac{11}{28} sa \frac{227}{420} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$k=\frac{14}{15}$$

Nalutas na ang system.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$112k+b=44$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$82k+b=16$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{112-82}&-\frac{1}{112-82}\\-\frac{82}{112-82}&\frac{112}{112-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&-\frac{1}{30}\\-\frac{41}{15}&\frac{56}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\times 44-\frac{1}{30}\times 16\\-\frac{41}{15}\times 44+\frac{56}{15}\times 16\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{15}\\-\frac{908}{15}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na k at b.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$112k+b=44$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$82k+b=16$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

I-subtract ang 82k+b=16 mula sa 112k+b=44 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$112k-82k+b-b=44-16$$

Idagdag ang b sa -b. Naka-cancel out ang term na b at -b ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$112k-82k=44-16$$

Idagdag ang 112k sa -82k.

$$30k=44-16$$

Idagdag ang 44 sa -16.

$$30k=28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 30.

$$k=\frac{14}{15}$$

I-substitute ang \frac{14}{15} para sa k sa 82k+b=16. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang b nang direkta.

$$82\times \frac{14}{15}+b=16$$

I-multiply ang 82 times \frac{14}{15}.

$$\frac{1148}{15}+b=16$$

I-subtract ang \frac{1148}{15} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$b=-\frac{908}{15}$$

Nalutas na ang system.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$